Chapitre VII. Initiation au calcul sous-différentiel et de transformées...
Caractère C 1 de c −1 . La différentielle de c en x est représentée par la matrice jacobienne Jc(x) qui vaut ici I n +∇ 2 f (x). Comme ∇ 2 f (x) est symétrique
semi-définie positive, Jc(x) a un déterminant supérieur à dét I n = 1. D’après
le théorème d’inversion locale, c −1 = p est C 1 sur R n avec
Jp(x) = [Jc(p(x))]
−1 pour tout x ∈ R
n .
Autrement dit :
Jp(x) =
I n + ∇
2 f (p(x))
−1 pour tout x ∈ R
n .
En résumé : c est une bijection de R n sur lui-même, c et c −1 sont de
classe C 1 sur R n ; c est donc un C 1 -difféomorphisme de R n sur lui-même.
*** Exercice VII.17. Soit f : R n → R convexe et de classe C 2 sur R n . Pour tout
r > 0, on considère la fonction f r définie sur R n par :
x ∈ R
n
−→ f r (x) := inf
u∈R n
f (u) +
r
2
x − u
2
.
(f r est la régularisée de Moreau-Yosida de f.)
En utilisant les résultats des Exercices VII.15 (1 re question) et 7.16, montrer
que f r est de classe C 2 sur R n et exprimer ∇ 2 f r en fonction de ∇ 2 f et de
l’inverse de l’application p −→ p +
1
r ∇f (p).
Solution : Si p r (x) désigne l’unique élément de R n minimisant la fonction
u −→ f (u) +
r
2 x − u 2 sur R n , on a (cf. Exercice VII.15, 1 re question) :
∇f r (x) = r(x − p r (x)) = ∇f (p r (x)).
Par conséquent, f r est deux fois (continûment) différentiable en x si, et
seulement si, p r est (continûment) différentiable en x ; dans ce cas
∇
2 f r (x) = r(I n − Jp r (x)) = ∇
2 f (p r (x)) · Jp r (x)
Or, lorsque f est C 2 sur R n , l’application p r est de classe C 1 sur R n , avec
Jp r (x) =
I n +
∇ 2 f (pr(x))
r
−1
(cf. Exercice VII.16). En définitive, f r est de
classe C 2 sur R n avec :
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
∇ 2 f r (x) = r
I n −
I n +
∇ 2 f (pr(x))
r
−1
= ∇ 2 f (p r (x))
I n +
∇ 2 f (pr(x))
r
−1
,
p r (x) =
I n +
∇f
r
−1
(x).
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