VII.3. La convexification d’une fonction
Puisque x k+1 minimise u −→ f (u) +
1
2 x k − u 2 ,
f
(x k+1 , x − x k+1 ) + x k+1 − x k , x − x k+1 0.
(7.32)
Sachant que la suite {{ x − x k+1 } est bornée et que
lim
k→+∞
x k+1 − x k = 0, un passage à la limite dans (7.32) conduit à
lim inf
k→+∞
f
(x k+1 , x − x k+1 ) 0.
D’où on tire grâce à (7.31) : lim
k→+∞
f (x k ) μ. Ce qui, avec (7.28), nous permet
de conclure que f (x k ) → f quand k → +∞.
On peut en fait démontrer que la suite (toute entière, pas seulement une
sous-suite) {x k } converge vers un minimum de f sur R n .
** Exercice VII.16. Soit f : R n → R convexe et de classe C 2 sur R n . Montrer que l’application c : R n → R n définie par c(p) := p + ∇f (p) est un C 1 -
difféomorphisme de R n sur lui-même.
Indication. Pour démontrer le caractère bijectif de c, on pourra minimiser la fonction g : u ∈ R n −→ g(u) := f (u) +
1
2 u − x 2 , où x ∈ R n est donné.
Solution : c est bijective. Pour x donné, considérons
g : u −→ g(u) = f (u) +
1
2 u − x 2 .
La fonction f étant convexe, elle est minorée par une fonction affine : il
existe s 0 ∈ R n et α 0 ∈ R tels que f (u) s 0 , u + α 0 pour tout u ∈ R n .
Par conséquent,
g(u) s 0 , u + α 0 +
1
2
u − x
2
1
2
u + s 0 − x
2
−
1
2
s 0 − x
2 +
x 2
2
+ α 0 ,
d’où on déduit : lim
u→+∞
g(u) = +∞. Par ailleurs, g est (continue et) strictement convexe sur R n . Il existe donc un unique élément de R n , noté p(x),
minimisant g sur R n ; cet élément p(x) est caractérisé par l’équation
∇f (p(x)) + p(x) − x = 0 (condition nécessaire et suffisante de minimalité),
soit
c(p(x)) = x.
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