Chapitre VII. Initiation au calcul sous-différentiel et de transformées...
Ensuite
f (x r ) f r (x) K pour tout r > 0,
x r → x quand r → +∞,
f est semi-continue inférieurement en x,
font que f (x) K. D’où la contradiction.
8 ◦ ) L’hypothèse faite sur f revient à sa 0-coercivité :
lim
x→+∞
f (x) = +∞.
a) La convexité de f, sa semi-continuité et sa coercivité font que f > −∞
et que
x | f (x) = f
est un convexe compact non vide de R n .
b) Par définition même de x k+1 , on a :
f (x k+1 ) +
1
2
x k+1 − x k
2
f (x k ).
La suite {f (x k )} est évidemment décroissante (et bornée inférieurement
par f ).
Conséquences :
• x k ∈ {x ∈ R n | f (x) f (x 0 )} qui est borné par hypothèse ;
• f (x k ) ↓ μ f quand k → +∞.
(7.28)
Posons F (x) := (I + ∂f ) −1 (x). Cette application F : R n → R n (qui est à la
base de la définition de la suite {x k } puisque x k+1 = F (x k )) vérifie l’inégalité
suivante :
∀x, y ∈ R
n , F (x)−F (y)
2
x−y
2
− − [F (x)−x]−[F (y)−y]
2 (7.29)
qui n’est autre, après développement, que l’inégalité (7.26) pour r = 1.
Soit x minimisant f sur R n . Sachant que F (x) = x et x k+1 = F (x k ), il
vient de (7.29) :
x k+1 − x
2
x k − x
2
− − x k+1 − x k
2 .
(7.30)
Conséquences :
• La suite
x k − x 2
est décroissante, donc convergente ;
• • x k+1 − x 2 − − x k − x 2 → k→+∞ 0 (la suite
x k − x 2
étant
convergente) ;
• • x k+1 − x k → k→+∞ 0 (cela résulte de (7.30)).
Revenons à présent à la suite {f (x k )} .
Comme f est convexe, on a
f = f (x) f (x k+1 ) + f
(x k+1 , x − x k+1 ).
(7.31)
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