VII.3. La convexification d’une fonction
b) [(ii) ⇔ (iii)]. On sait que f r est convexe et différentiable, avec ∇f r (x) =
r(x − x r ) en tout x. Par conséquent, x minimise f r sur R n si et seulement si
∇f r (x) = 0.
[(i) ⇔ (iii)]. x r est caractérisé comme l’unique élément vérifiant
x ∈
I +
1
r
∂f
(x r ).
Il est donc clair que x = x r si et seulement si 0 ∈ ∂f (x), ou, d’une manière
équivalente, si x minimise f sur R n .
[(iii) ⇒ (iv) ⇒ (v)]. Immédiat à partir de (7.27) .
[(v) ⇒ (iii)]. Si f r (x) = f (x), cela signifie que la borne inférieure dans la
définition de f r (x) est atteinte en x, donc x = x r .
7 ◦ ) a) Soit x −→ →s 0 , x + α 0 une minorante affine de f. Avec (7.27) on
obtient :
f (x) s 0 , x r + α 0 +
r
2
x − x r
2 ,
ce qui implique (cf. décomposition du 1 ◦ ) a) :
+∞ >
f (x)
r
1
2
x r − x +
s 0
r
2
−
1
2
s 0
r
− x
2 +
1
2
x
2 +
α 0
r
·
De ce fait, x r − x +
s 0
r tend vers 0 quand r → +∞, et donc x r − x
aussi.
Comme ∂f (x r ) n’est pas vide (car r(x − x r ) ∈ ∂f (x r )), x r ∈ dom ∂f :=
{x | ∂f (x) = φ} pour tout r > 0 ; avec ce qui précède, on a donc démontré
que dom f est contenu dans l’adhérence de dom ∂f.
La convergence de x r vers x, combinée avec la semi-continuité inférieure
de f (en x) et l’inégalité f (x r ) f r (x) f (x), font que f r (x) → f (x) quand
r → +∞.
b) Soit x /
∈ dom f , i.e. f (x) = +∞. Il nous faut montrer que f r (x) −→ +∞
quand r → +∞. La suite {f r (x)} r étant croissante, le contraire de l’énoncé
est : il existe K tel que f r (x) K pour tout r > 0.
Toujours grâce à la minorante s 0 , ·· + α 0 de f , l’inégalité
K
r
1
r
f r (x) =
1
r
f (x r ) +
r
2
x − x r
2
1
2
x r − x +
s 0
r
2
−
s 0 2
2r 2 +
s 0 , x
r
+
α 0
r
conduit à nouveau à : x r → x quand r → +∞.
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