Chapitre VII. Initiation au calcul sous-différentiel et de transformées...
b) On a :
(x − x r ) − (y − y r )
2 = (x − y) − (x r − y r ) 2
= x − y 2 + x r − y r 2 − 2 x − y, x r − y r
x − y 2 d’après (7.26) .
L’application x −→ ∇f r (x) = r(x−x r ) est ainsi lipschitzienne de rapport r.
c) Puisque r(y − y r ) ∈ ∂f r (y), on a l’inégalité
f r (x) − f r (y) r y − y r , x − y .
En retranchant −r x − x r , x − y aux deux membres, on obtient :
f r (x) − f r (y) − r x − x r , x − y −r x − y
2 + r x − y, x r − y r
−r x − y
2 ,
soit encore
f r (y) − f r (x) − r x − x r , y − x r x − y
2 .
Une autre méthode consisterait à utiliser la propriété de Lipschitz de ∇f r
dans un développement de Taylor-Lagrange (ou Taylor avec reste sous forme
d’intégrale) du 1 er ordre de f r .
5 ◦ ) a) Comme cela a déjà été dit, f r : R n → R est convexe, donc localement
lipschitzienne sur R n . Comme
f r (x) f (x r ) inf
x∈R n
f (x),
f r est bornée inférieurement sur R n dès que f l’est.
b) La conjuguée N ∗
r de N r est s ∈ R n −→ N ∗
r (s) =
1
2r s 2 .
Puisque f r = f N r , on a f ∗
r = f ∗ + N ∗
r , c’est-à-dire :
∀s ∈ R
n , f
∗
r (s) = f
∗ (s) +
1
2r
s
2 .
En particulier
f
∗
r (0)
(=− inf x∈R n fr(x))
coïncide avec
=
f
∗ (0)
(=− inf x∈R n f (x))
.
6 ◦ ) a) De par les définitions mêmes :
f (x r ) +
r
2
x − x r
2 = f r (x) f (x) pour tout x ∈ R
n .
(7.27)
292