VII.3. La convexification d’une fonction
Pour ce qui est de f r (x),
f r (x) =
1
2
Ax r , x r +
r
2
x − x r
2
=
1
2
A r x, x , où A r := A
I +
A
r
−1
= r
I −
I +
A
r
−1
.
3 ◦ ) x r est solution d’un problème de minimisation où la fonction-objectif
est de la forme f + g, avec f convexe s.c.i. et g convexe différentiable sur R n .
Les solutions u d’un tel problème sont caractérisées par l’une ou l’autre des
conditions suivantes (cf. Exercice II.7) :
∀u ∈ R
n , ∇g(u), u − u + f (u) − f (u) 0 ;
(7.22)
∀u ∈ R
n , ∇g(u), u − u + f (u) − f (u) 0.
(7.23)
Avec g : u −→ g(u) =
r
2 u − x 2 , elles donnent précisément les conditions (7.14) et (7.15) attendues.
La première condition, c’est-à-dire (7.22), a déjà été vue puisqu’elle est
équivalente à
−∇g(x r ) = r(x − x r ) ∈ ∂f (x r ).
Seule la condition (7.15), traduction de (7.23), a un caractère nouveau.
Si l’on considère l’exemple b) de la question précédente, on obtient :
x − p C (x), u − p C (x) 0 pour tout u ∈ C
(caractérisation variationnelle usuelle de p C (x)) ;
(7.24)
u − p C (x), x − u 0 pour tout u ∈ C
(cf. Exercice 6.16).
(7.25)
4 ◦ ) a) L’inégalité (7.14) écrite successivement pour x r et y r donne :
∀u ∈ R
n , f(u) − f (x r ) r x − x r , u − x r
∀v ∈ R
n , f(v) − f (y r ) r y − y r , v − y r .
En faisant u = y r et v = x r et en additionnant, on obtient :
x r − y r
2
x r − y r , x − y ,
(7.26)
d’où
x r − y r x − y .
Donc l’application x −→ x r est monotone et lipschitzienne de rapport 1.
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