Chapitre VII. Initiation au calcul sous-différentiel et de transformées...
Or ∂N r (x − x r ) = {r(x − x r )}, de sorte que
∂f r (x) = {r(x − x r )} et r(x − x r ) ∈ ∂f (x r ).
(7.19)
La fonction f r est une fonction convexe de R n dans R, donc localement lipschitzienne sur R n ; alors l’unique élément r(x−x r ) de ∂f r (x) définit la différentielle (au sens de Fréchet) de f r en x comme suit : h ∈ R n −→ →r(x − x r ), h .
Ainsi ∇f r (x) = r(x − x r ).
c) Le point x r est caractérisé par la condition suivante :
0 ∈ ∂
f +
r
2
· − x
2
(x r ),
ce qui revient à
0 ∈ ∂f (x r ) + r(x r − x) (condition déjà rencontrée en (7.19)),
ou encore
x ∈
I +
1
r
∂f
(x r ).
(7.20)
D’après ce qui a été vu plus haut, pour tout x ∈ R n , l’élément x r , solution
de l’équation multivoque (7.20) , est défini de façon unique. En conséquence :
– la multi-application I +
1
r ∂f est surjective (i.e.,
I +
1
r ∂f
(R n ) = R n ) ;
– l’inverse de la multi-application I +
1
r ∂f est en fait univoque ; il définit
x r précisément :
∀x ∈ R
n , x r =
I +
1
r
∂f
−1
(x).
(7.21)
2 ◦ ) a) On a déjà utilisé la décomposition suivante dans 1 ◦ ) a) :
s, u + α +
r
2
x − u
2 =
r
2
u +
s
r
− x
2
−
r
2
s
r
− x
2 +
r
2
x
2 + α.
Il s’ensuit :
x r = x −
s
r
, f r (x) = −
s 2
r
+ s, x + α.
On peut aussi calculer (immédiatement) x r grâce à (7.21) .
b) f r (x) = inf u∈C
r
2 x − u 2
=
r
2 d 2
C (x), où d C désigne la fonctiondistance à C.
Quant à x r , ce n’est autre que la projection de x sur C : x r = p C (x).
c) Comme ∂f (u) = {Au} pour tout u, il est aisé de déterminer x r
via (7.21) :
x r =
I +
A
r
−1
(x).
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