VII.3. La convexification d’une fonction
où f vérifie en outre l’hypothèse suivante :
∀λ ∈ R, {x ∈ R
n
| f (x) λ} est borné.
a) Indiquer pourquoi
x ∈ R n | f (x) = f
est un convexe compact non vide.
b) On considère la suite {x k } de R n construite à partir de x 0 ∈ R n de la
manière suivante :
x k+1 := (I + ∂f )
−1 (x k ),
c’est-à-dire x k+1 est l’unique point tel que
f (x k+1 ) +
1
2
x k+1 − x k
2 = min
u∈R n
f (u) +
1
2
x k − u
2
.
Montrer que la suite {f (x k )} est décroissante.
Montrer que la suite {x k } est bornée et que lim
k→+∞
x k+1 − x k = 0.
En déduire que f (x k ) → f quand k → +∞.
Solution : 1 ◦ ) a) La fonction F r : u ∈ R n −→ F r (u) := f (u) +
r
2 x − u 2 est
clairement s.c.i. Montrons qu’elle est 0-coercive sur R n . Comme f est convexe
par hypothèse, elle possède une minorante affine : il existe s 0 ∈ R n et α 0 ∈ R
tels que
f (u) s 0 , u + α 0 pour tout u ∈ R
n .
Par conséquent,
F r (u) s 0 , u + α 0 +
r
2
x − u
2
r
2
u +
s 0
r
− x
2
−
r
2
s 0
r
− x
2 +
r
2
x
2 + α 0 ,
d’où on déduit : lim
u→+∞
F r (u) = +∞.
Il en résulte qu’il existe bien un point minimisant F r sur R n .
La fonction F r étant strictement convexe, comme somme d’une fonction
convexe et d’une fonction strictement convexe, il n’y a qu’un point minimisant
F r sur R n .
b) Soit N r :=
r
2 · · 2 ; il est clair que f r est l’inf-convolution de f et de
N r : f r = f N r . De plus, cette inf-convolution est exacte en tout point de R n :
∀x ∈ R
n , f r (x) = (f N r )(x) = f (x r ) +
r
2
x − x r
2 .
(7.18)
On utilise alors la règle de calcul donnant le sous-différentiel d’une infconvolution de fonctions pour obtenir
∀x ∈ R
n , ∂f r (x) = ∂f (x r ) ∩ ∂N r (x − x r ).
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