Chapitre VII. Initiation au calcul sous-différentiel et de transformées...
Qu’expriment ces conditions dans le cas b) de la question précédente ?
4 ◦ ) a) Montrer que l’application x −→ x r est lipschitzienne de rapport 1.
b) Montrer que l’application x −→ ∇f r (x) = r(x − x r ) est lipschitzienne de
rapport r.
c) Démontrer l’inégalité
0 f r (y) − f r (x) − r x − x r , y − x r x − y
2 ,
(7.16)
valable pour tout x, y dans R n .
5 ◦ ) a) On suppose que f est bornée inférieurement sur R n . Indiquer pourquoi
f r est localement lipschitzienne et bornée inférieurement sur R n .
b) Quelle est la conjuguée (de Legendre-Fenchel) de la fonction N r : u −→
r
2 u 2 ?
En déduire l’expression de la conjuguée f ∗
r de f r .
Comparer alors inf x∈R n f (x) et inf x∈R n f r (x).
6 ◦ ) a) Montrer que
f (x r ) f r (x) f (x) pour tout x ∈ R
n .
(7.17)
b) Établir l’équivalence des assertions suivantes :
(i) x minimise f sur R n ;
(ii) x minimise f r sur R n ;
(iii) x = x r ;
(iv) f (x) = f (x r ) ;
(v) f (x) = f r (x).
7 ◦ ) L’objet de cette question est l’étude du comportement de f r (x) quand
r → +∞.
a) Soit x ∈ dom f := {x | f (x) < +∞} . Montrer tout d’abord que x r → x
quand r → +∞.
En déduire que {x ∈ R n | ∂f (x) = φ} est dense dans dom f.
En déduire aussi que f r (x) → f (x) quand r → +∞.
b) Soit x /
∈ dom f. Montrer que f r (x) → +∞ quand r → +∞. (On raisonnera par l’absurde en montrant que l’hypothèse « {f r (x)} r est majorée » conduit
à une contradiction.)
8 ◦ ) On considère le problème de minimisation suivant :
(P) Trouver x ∈ R
n tel que f (x) = f := inf
x∈R n
f (x),
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