VII.3. La convexification d’une fonction
*** Probl` eme VII.15. Approximation et régularisation de Moreau-Yosida
Soient R n muni d’un produit scalaire noté ·, ·· , · · la norme associée, et
f : R n → R ∪ {+∞} une fonction convexe, semi-continue inférieurement (s.c.i.)
et finie en au moins un point.
1 ◦ ) Pour tout r > 0, on considère la fonction f r définie sur R n par :
x ∈ R
n
−→ f r (x) := inf
u∈R n
f (u) +
r
2
x − u
2
.
(7.10)
(f r est appelée régularisée de Moreau-Yosida de f.)
a) Vérifier que la fonction u −→ f (u) +
r
2 x − u 2 est s.c.i. et 0-coercive
sur R n .
En déduire que l’infimum est atteint dans la définition de f r (x).
Montrer que cet infimum est atteint en un point unique de R n , point que
l’on notera x r dans toute la suite.
b) Écrire f r comme l’inf-convolution de deux fonctions convexes.
Vérifier que cette inf-convolution est exacte en tout point x de R n .
En déduire que f r est différentiable en tout x ∈ R n avec :
∇f r (x) = r(x − x r ) ;
(7.11)
r(x − x r ) ∈ ∂f (x r ).
(7.12)
c) En écrivant les conditions de minimalité pour le problème de minimisation
définissant f r (x), montrer que :
I +
1
r ∂f est une multi-application surjective de R n dans R n ;
∀x ∈ R n ,
I +
1
r ∂f
−1 (x) = x r.
(7.13)
(I désigne ici l’application identité de R n dans R n ).
2 ◦ ) Déterminer f r (x) et x r pour tout x ∈ R n dans les cas suivants :
a) f est une forme affine sur R n , i.e.
u ∈ R
n
−→ f (u) := s, u + α, où s ∈ R
n et α ∈ R.
b) f est l’indicatrice d’un convexe fermé non vide C de R n .
c) u ∈ R n −→ f (u) :=
1
2 Au, u , où A : R n → R n est linéaire autoadjoint.
3 ◦ ) Montrer que x r peut être caractérisé par l’une ou l’autre des conditions
suivantes :
f (u) − f (x r ) + r x r − x, u − x r 0 pour tout u ∈ R
n ;
(7.14)
f (u) − f (x r ) + r u − x, u − x r 0 pour tout u ∈ R
n .
(7.15)
287