Chapitre VII. Initiation au calcul sous-différentiel et de transformées...
La fonction strictement concave x 0 −→ θ s (x) := sx − x ln x −
x 2
2 + x
s’annule en 0, elle est dérivable sur R +
∗ et θ
s (x) = s − lnx − x pour tout x > 0.
Comme θ
s s’annule en l’unique point x(s) = l(e s ), le supremum de θ s sur R +
est atteint en x(s). Ainsi :
f
∗ (s) = sl(e
s ) − l(e
s )[s − l(e
s )] −
[l(e s )]
2
2
+ l(e
s )
=
1
2
[l(e
s )]
2 + l(e
s ).
En définitive :
∀s ∈ R, f
∗ (s) =
1
2
[l(e
s )]
2 + l(e
s ).
* Exercice VII.10. Soit f ∈ Γ 0 (R n ) majorée sur R n . Que peut-on dire d’une
telle fonction ?
Solution : Elle est nécessairement constante. En effet, de l’inégalité
f (x) M pour tout x ∈ R
n ,
on tire f ∗ I {0} − M (fonction qui vaut partout +∞ sauf en 0 où elle vaut
−M ).
Par conséquent, f ∗ = I {0} − C pour un certain C ∈ R, d’où f = f ∗∗ ≡ C.
** Exercice VII.11. Soient f et g dans Γ 0 (R n ) telles que f + g soit une fonction
affine sur R n . Montrer que f et g sont nécessairement affines sur R n .
Indication. Calculer (f + g) ∗ .
Solution : Soient s ∈ R n et r ∈ R tels que f + g = s, ·· + r. De cette égalité,
il vient que f et g sont partout finies sur R n et donc continues sur R n . Par
conjugaison, il s’ensuit :
(f + g)
∗ = f
∗
g
∗ = I {s} − r.
Comme dom (f ∗ g ∗ ) = dom f ∗ + dom g ∗ et epi s (f ∗ g ∗ ) = epi s f ∗ + epi s g ∗ ,
la seule possibilité pour vérifier la relation au-dessus est d’avoir :
f
∗ = I {s 1 } − r 1 , g
∗ = I {s 2 } − r 2 , s = s 1 + s 2 , r = r 1 + r 2 .
D’où
f = (f ∗ ) ∗ = s 1 , ·· − r 1 et g = (g ∗ ) ∗ = s 2 , ·· − r 2 .
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