VII.3. La convexification d’une fonction
Solution : q ∗
m,σ : s ∈ R −→ q ∗
m,σ (s) =
1
2 σ 2 s 2 + ms.
Par suite,
q m,σ q m ,σ = q m+m ,
√
σ 2 +σ 2 .
Commentaire : Le résultat ci-dessus doit être rapproché de la formule correspondante en Probabilités : N (m, σ)∗N (m , σ ) = N (m+m ,
√
σ 2 + σ 2 ), où ∗ désigne
l’opération de convolution usuelle en Analyse. On peut pousser le parallèle entre
Probabilités et Analyse convexe et dresser le tableau de correspondance suivant :
Probabilités
Analyse convexe
addition de réels
infimum de réels
multiplication de réels
addition de réels
lois normales N (m, σ)
fonctions quadratiques q m,σ
convolution
inf-convolution
transformation de Fourier
transformation de Legendre-Fenchel
(fonctions caractéristiques) (fonctions conjuguées)
** Exercice VII.9. Soit f ∈ Γ 0 (R) définie de la façon suivante :
f (x) :=
x ln x +
x 2
2 − x si x 0 (avec 0 ln 0 = 0)
+∞ si x < 0.
Ici f ∗ (s) ne peut être exprimée analytiquement à l’aide des fonctions
usuelles.
Considérons la fonction l : R + → R + , dite de Lambert, définie comme
l’inverse de la fonction x −→ xe x (c’est-à-dire : pour tout u 0, x = l(u) est
l’unique solution de xe x = u).
Exprimer f ∗ à l’aide de l et des fonctions usuelles.
Solution : Puisque f (x)/ | x | → +∞ quand | x | → +∞, on sait déjà que f ∗
sera partout finie sur R.
Soit s ∈ R. Par définition
f
∗ (s) = sup
x0
sx − x ln x −
x 2
2
+ x
.
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