Chapitre VII. Initiation au calcul sous-différentiel et de transformées...
** Exercice VII.7. Pour a > 0 et c 0 posons
f a,c : x ∈ R −→ f a,c (x) := −
a 2 − (x − c) 2 si | x − c | a, +∞ sinon.
1 ◦ ) Calculer (f a,c ) ∗ , puis f a 1 ,c 1 f a 2 ,c 2 .
2 ◦ ) Vérifier sur cet exemple les formules reliant les dérivées première et
seconde de f a,c à celles de (f a,c ) ∗ .
Solution : 1 ◦ ) f ∗
a,c : s ∈ R −→ f ∗
a,c (s) = a
√
1 + s 2 + cs. Ce calcul permet un
va-et-vient entre les familles de fonctions {f a,c } et
f ∗
a,c
. En particulier, les
règles de calcul sur les conjuguées conduisent à :
f a 1 ,c 1 f a 2 ,c 2 = f a 1 +a 2 ,c 1 +c 2 .
2 ◦ ) On a :
∀x ∈ ]c − a, c + a[, f
a,c (x) = (x − c)[a 2 − (x − c) 2 ] −1/2 ,
f
a,c (x) = a 2 [a 2 − (x − c) 2 ] −3/2 ;
∀s ∈ R,
(f ∗
a,c ) (s) = as(1 + s 2 ) −1/2 + c,
(f ∗
a,c )
(s) = a(1 + s 2 ) −3/2 .
Ainsi, l’application f
a,c est une bijection de ]c− a, c+ a[ sur R dont la bijection inverse est (f ∗
a,c ) . Pour ce qui est de la dérivée seconde, nous sommes dans
les conditions où nous pouvons relier f
a,c et (f ∗
a,c ) par la formule suivante :
∀s ∈ R, (f
∗
a,c )
(s) =
1
f
a,c (x)
, où x = as(1 + s
2 )
−1/2 + c.
Notons aussi sur cet exemple le comportement suivant :
Lorsque a ↓ 0, f a,c (x) ↑ I {c} (x) pour tout x, et f ∗
a,c (s) ↓ I ∗
{c} (s) = cs pour
tout s.
** Exercice VII.8. Pour m et σ réels posons
q m,σ : x ∈ R −→ q m,σ (x) :=
1
2
x − m
σ
2
lorsque σ = 0,
q m,0 := I {m} .
Calculer (q m,σ ) ∗ .
En déduire q m,σ q m ,σ .
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