VII.3. La convexification d’une fonction
D’où, par intégration de s −→ ∂f ∗ (s) = {(f ∗ ) (s)}, et sachant que
f ∗ (0) = 0 :
f
∗ (s) =
0 si − 1 s +1,
1
2 (| s | −1) 2 si | s | > 1.
* Exercice VII.5. Soit A ∈ S n (R) définie positive. Montrer, à l’aide d’un simple
calcul de conjuguée de fonction convexe, l’inégalité suivante
A + A
−1
2I n .
Solution : Soit f : x ∈ R n −→ f (x) :=
1
2 Ax, x . Alors f ∗ : s ∈ R n −→
f ∗ (s) =
1
2
A −1 s, s
.
L’inégalité de Fenchel indique :
∀x ∈ R
n , ∀s ∈ R
n , Ax, x +
A
−1 s, s
2 x, s .
En faisant x = s, on trouve l’inégalité demandée.
* Exercice VII.6. On se propose de trouver une primitive de la fonction s −→
Argsh s (notée aussi (sh) −1 (s)) par l’intermédiaire de la transformation de
Legendre-Fenchel.
1 ◦ ) Soit f : x ∈ R −→ f (x) := ch x. Déterminer f ∗ .
2 ◦ ) Indiquer pourquoi f ∗ est une primitive de la fonction Argsh.
Solution : 1 ◦ ) Par définition, f ∗ (s) = sup x∈R {sx − ch x} . Le supremum dans
l’expression de f ∗ (s) est atteint en un seul point x(s) = Argsh s. D’où
f
∗ (s) = s(Argsh s) − ch(Argsh s) = s(Argsh s) −
1 + s 2 .
(7.9)
2 ◦ ) On a f = sh, d’où (f ∗ ) = (f ) −1 : s ∈ R −→ Argsh s. Donc f ∗ est la
primitive de Argsh qui prend en 0 la valeur f ∗ (0) = − inf x∈R f (x) = −1.
Le cas traité ici est une illustration de la formule de Legendre :
f
∗ (s) = s(f
)
−1 (s) − f [(f
)
−1 (s)].
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