Chapitre VII. Initiation au calcul sous-différentiel et de transformées...
• ∂f (t) = −∂f (−t) pour tout t ∈ dom f.
• Si 0 ∈ ∂f (t 0 ) pour un certain t 0 , alors f (t) = f (0) sur [−t 0 , +t 0 ].
• Si 0 est l’unique minimum de f et si f est dérivable en 0, il en est de
même pour f ∗ .
** Exercice VII.3. Soient θ ∈ Γ 0 (R) paire et f ∈ Γ 0 (R n ) définie par
f (x) := θ( x ).
Exprimer f ∗ en fonction de θ ∗ .
En déduire l’expression suivante de ∂f (x) :
∂f (x) = {s ∈ R
n
| | s ∈ ∂θ( x ) et s, x = s · · x } .
Solution : • f ∗ (s) = θ ∗ ( s ).
• s ∈ ∂f (x) ⇔ f (x) + f ∗ (s) = s, x ⇔ θ( x ) + θ ∗ ( s ) = s, x
⇔ θ( x ) + θ ∗ ( s ) = s · · x et s, x = s · · x
(utiliser l’inégalité de Schwarz, et celle de Fenchel pour θ).
* Exercice VII.4. Construire graphiquement la conjuguée de la fonction suivante :
x ∈ R −→ f (x) :=
1
2
x
2 + | x |
(graphiquement signifie en déterminant le graphe de ∂f , puis celui de ∂f ∗ =
(∂f ) −1 , et en en déduisant f ∗ .)
Solution :
Figure 24.
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