VII.3. La convexification d’une fonction
d’où, grâce à la 2 e relation ci-dessus,
k
i=1
(1 + t i )s i , s j
= 0 pour tout j = 1, . . . , k.
Comme vect{s 1 , . . . , s k } = R n , on en déduit
k
i=1
(1 + t i )s i = 0. D’où le
résultat escompté.
Commentaire : – Des exemples simples montrent qu’on ne peut se contenter de
« α i 0 pour tout i » dans (P 4 ), et qu’on ne peut se dispenser de l’hypothèse
« vect{s 1 , . . . , s k } = R n ».
– Prolongement de l’exercice : Montrer que (P 4 ) équivaut aussi à
cône {s 1 , · · · , s k } = R n .
Figure 23. Illustration dans R
2 .
** Exercice VII.2. Soit f ∈ Γ 0 (R) telle que f (t) = f (−t) pour tout t ∈ R.
Rassembler toutes les propriétés possibles de f , notamment celles concernant f ∗
et ∂f.
Solution : • Le domaine de f est un intervalle symétrique :
si 0 t ∈ dom f, [−t, +t] ⊂ dom f.
• 0 ∈ dom f et minimise f sur R. En effet, puisque f est paire et convexe
f (0)
1
2
[f (t) + f (−t)] = f (t) pour tout t ∈ R.
• f ∗ est également paire.
279
d’où, grâce à la 2 e relation ci-dessus,
k
i=1
(1 + t i )s i , s j
= 0 pour tout j = 1, . . . , k.
Comme vect{s 1 , . . . , s k } = R n , on en déduit
k
i=1
(1 + t i )s i = 0. D’où le
résultat escompté.
Commentaire : – Des exemples simples montrent qu’on ne peut se contenter de
« α i 0 pour tout i » dans (P 4 ), et qu’on ne peut se dispenser de l’hypothèse
« vect{s 1 , . . . , s k } = R n ».
– Prolongement de l’exercice : Montrer que (P 4 ) équivaut aussi à
cône {s 1 , · · · , s k } = R n .
Figure 23. Illustration dans R
2 .
** Exercice VII.2. Soit f ∈ Γ 0 (R) telle que f (t) = f (−t) pour tout t ∈ R.
Rassembler toutes les propriétés possibles de f , notamment celles concernant f ∗
et ∂f.
Solution : • Le domaine de f est un intervalle symétrique :
si 0 t ∈ dom f, [−t, +t] ⊂ dom f.
• 0 ∈ dom f et minimise f sur R. En effet, puisque f est paire et convexe
f (0)
1
2
[f (t) + f (−t)] = f (t) pour tout t ∈ R.
• f ∗ est également paire.
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