Chapitre VII. Initiation au calcul sous-différentiel et de transformées...
Puisque x = 0, il existe s ∈ R n tel que s, x = 0. Or R n = vect{s 1 , . . . , s k }
par hypothèse ; il existe donc des réels λ i tels que s =
k
i=1
λ i s i . Par suite
s, x =
k
i=1
λ i s i , x
est impossible à tenir puisque s, x = 0 et s i , x = 0 pour tout i.
[(P 3 ) ⇒ (P 4 )]. Montrons tout d’abord que (P 3 ) implique que
vect{s 1 , . . . , s k } = R n . S’il n’en était pas ainsi, il existerait x = 0 tel que
s i , x = 0 pour tout i = 1, . . . , k (d’accord ?). Mais ceci contredirait alors
(P 3 ).
Au vu du résultat de la 1 re question, (P 3 ) implique l’existence de coefficients α i 0, non tous nuls, tels que
k
i=1
α i s i = 0. Reste à prouver (ici) que
l’on peut prendre les α i tous strictement positifs. Désignons par K le cône
convexe engendré par les vecteurs s i , c’est-à-dire
K :=
k
i=1
t i s i | t i 0 pour tout i = 1, . . . , k
.
Nous savons que K est fermé (cf. Exercice V.12). Considérons à présent la
projection de −
k
i=1
s i sur (le cône convexe fermé) K ; cette projection est de la
forme
k
i=1
t i s i , avec t i 0, pour tout i, et caractérisée par les relations suivantes
(cf. rappels de la Section VI.2) :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
−
k
i=1
s i −
k
i=1
t i s i ∈ K
◦ (cône polaire de K)
et
−
k
i=1
s i −
k
i=1
t i s i ,
k
i=1
t i s i
= 0.
Puisque K est engendré par les s i , la 1 re relation ci-dessus implique
−
k
i=1
(1 + t i )s i , s j
0 pour tout j = 1, . . . , k,
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