VII.3. La convexification d’une fonction
** Exercice VII.12. Soit R n muni du produit scalaire usuel noté ·, ·· et de la
norme euclidienne associée · ·. La fonction f : x ∈ R n −→ f (x) :=
1
2 x 2
est sa propre conjuguée : f = f ∗ . Est-ce la seule fonction dans ce cas ?
Solution : Oui. Pour voir cela, considérons donc une fonction f sur R n pour
laquelle f = f ∗ . L’inégalité de Fenchel nous dit que
f (x) + f
∗ (s) s, x pour tout (s, x) ∈ R
n
× R
n .
En faisant s = x et sachant que f = f ∗ , il s’ensuit
f (x)
1
2
x
2
pour tout x ∈ R
n .
Prenons la conjuguée membre à membre ci-dessus ; il vient
f ∗
1
2 · · 2 .
Donc
1
2 · · 2 est la seule solution de l’équation f = f ∗ .
Commentaire : Dans le même ordre d’idées, soit f : R n → R convexe, de classe
C 2 , telle que dét (∇ 2 f (x)) = 1 pour tout x ∈ R n . Que peut-on dire d’une telle
fonction ? Réponse : elle est quadratique. Dur dur...
** Exercice VII.13. Soit f : R n → R telle que
∂f (x) = φ pour tout x ∈ R
n .
Montrer qu’une telle fonction est nécessairement convexe sur R n .
Solution : 1 re démonstration. Soient x 0 , x 1 dans R n et α ∈ ]0, 1[. Posons
x α := (1 − α)x 0 + αx 1 . Prenons s α ∈ ∂f (x α ) ; alors :
f (x 0 ) f (x α ) + s α , x 0 − x α = f (x α ) + α s α , x 0 − x 1 ,
f (x 1 ) f (x α ) + s α , x 1 − x α = f (x α ) + (1 − α) s α , x 1 − x 0 .
Multiplions la 1 re inégalité par 1−α, la deuxième par α, et faisons la somme
membre à membre ; il vient :
(1 − α)f (x 0 ) + αf (x 1 ) f (x α ).
2 e démonstration. Puisque ∂f (a) = φ pour au moins un a ∈ R n , f est minorée sur R n par une fonction affine. On fait alors appel au résultat suivant :
(∂f (x) = φ) ⇒ ((conv f )(x) = f (x)) .
On a donc conv f = f (dans le cas présent).
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