VII.2. Le sous-différentiel d’une fonction
• f ∗ est également partout finie, strictement convexe, différentiable et
1-coercive sur R n ;
• l’application ∇f : R n → R n est bijective et
f
∗ (s) =
s, (∇f )
−1 (s)
− f ((∇f )
−1 (s)) pour tout s ∈ R
n .
(7.4)
Ceci est la formule de Legendre.
– Étant données deux fonctions f 1 et f 2 minorées par une fonction affine
commune, l’inf-convolution (ou somme épigraphique) de f 1 et f 2 est la fonction
notée f 1 f 2 définie comme suit :
∀x ∈ R
n , (f 1 f 2 )(x) := inf
x 1 +x 2 =x
{f 1 (x 1 ) + f 2 (x 2 )} .
Alors dom(f 1 f 2 ) = dom(f 1 ) + dom(f 2 ) et epi s (f 1 f 2 ) = epi s (f 1 ) + epi s (f 2 ).
La conjuguée de f 1 f 2 est f ∗
1 + f ∗
2 , et ce sans aucune hypothèse additionnelle sur
f 1 et f 2 .
– Soient deux fonctions f 1 et f 2 de Γ 0 (R n ) telles que les intérieurs relatifs
de leurs domaines se coupent (i.e., ir(dom f 1 ) et ir(dom f 2 ) ont un point en
commun) ; alors la conjuguée de f 1 + f 2 est f ∗
1 f ∗
2 et cette inf-convolution est
exacte, c’est-à-dire : si s ∈ domf ∗
1 f ∗
2 , il existe (s 1 , s 2 ) ∈ dom f ∗
1 × dom f ∗
2 tel
que s = s 1 + s 2 et f ∗
1 f ∗
2 (s) = f ∗
1 (s 1 ) + f ∗
2 (s 2 ).
– Si f ∈ Γ 0 (R n ), la fonction f ∗∗ := (f ∗ ) ∗ n’est autre que f. La transformation
f −→ f ∗ est en fait une involution de Γ 0 (R n ).
VII.2. Le sous-différentiel d’une fonction
VII.2.1. Définitions
Étant donnés une fonction f et x ∈ dom f , un élément s de R n est appelé
sous-gradient de f en x lorsque
f (x
) f (x) +
s, x
− x
pour tout x
∈ R
n .
(7.5)
La définition s’étend sans difficulté aux f définies sur un espace euclidien
(E, ·, ··).
L’ensemble des sous-gradients de f en x est appelé sous-différentiel de f en x
et noté par le graphisme ∂f (x).
Une caractérisation des s ∈ ∂f (x), venant immédiatement de (7.5), est comme
suit :
(s ∈ ∂f (x)) ⇔ (f
∗ (s) + f (x) − −s, x = 0) ;
273
• f ∗ est également partout finie, strictement convexe, différentiable et
1-coercive sur R n ;
• l’application ∇f : R n → R n est bijective et
f
∗ (s) =
s, (∇f )
−1 (s)
− f ((∇f )
−1 (s)) pour tout s ∈ R
n .
(7.4)
Ceci est la formule de Legendre.
– Étant données deux fonctions f 1 et f 2 minorées par une fonction affine
commune, l’inf-convolution (ou somme épigraphique) de f 1 et f 2 est la fonction
notée f 1 f 2 définie comme suit :
∀x ∈ R
n , (f 1 f 2 )(x) := inf
x 1 +x 2 =x
{f 1 (x 1 ) + f 2 (x 2 )} .
Alors dom(f 1 f 2 ) = dom(f 1 ) + dom(f 2 ) et epi s (f 1 f 2 ) = epi s (f 1 ) + epi s (f 2 ).
La conjuguée de f 1 f 2 est f ∗
1 + f ∗
2 , et ce sans aucune hypothèse additionnelle sur
f 1 et f 2 .
– Soient deux fonctions f 1 et f 2 de Γ 0 (R n ) telles que les intérieurs relatifs
de leurs domaines se coupent (i.e., ir(dom f 1 ) et ir(dom f 2 ) ont un point en
commun) ; alors la conjuguée de f 1 + f 2 est f ∗
1 f ∗
2 et cette inf-convolution est
exacte, c’est-à-dire : si s ∈ domf ∗
1 f ∗
2 , il existe (s 1 , s 2 ) ∈ dom f ∗
1 × dom f ∗
2 tel
que s = s 1 + s 2 et f ∗
1 f ∗
2 (s) = f ∗
1 (s 1 ) + f ∗
2 (s 2 ).
– Si f ∈ Γ 0 (R n ), la fonction f ∗∗ := (f ∗ ) ∗ n’est autre que f. La transformation
f −→ f ∗ est en fait une involution de Γ 0 (R n ).
VII.2. Le sous-différentiel d’une fonction
VII.2.1. Définitions
Étant donnés une fonction f et x ∈ dom f , un élément s de R n est appelé
sous-gradient de f en x lorsque
f (x
) f (x) +
s, x
− x
pour tout x
∈ R
n .
(7.5)
La définition s’étend sans difficulté aux f définies sur un espace euclidien
(E, ·, ··).
L’ensemble des sous-gradients de f en x est appelé sous-différentiel de f en x
et noté par le graphisme ∂f (x).
Une caractérisation des s ∈ ∂f (x), venant immédiatement de (7.5), est comme
suit :
(s ∈ ∂f (x)) ⇔ (f
∗ (s) + f (x) − −s, x = 0) ;
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