Chapitre VII. Initiation au calcul sous-différentiel et de transformées...
il s’ensuit que le calcul sous-différentiel et la transformation de Legendre-Fenchel
sont très étroitement liés.
VII.2.2. Quelques propriétés et règles de calcul
– Si f ∈ Γ 0 (R n ), alors ∂f (x) est assurément non vide dès que x est dans
l’intérieur relatif de dom f.
– Si f ∈ Γ 0 (R n ) et si x ∈ int(dom f ), ∂f (x) est un convexe compact (non
vide) dont la fonction d’appui est
d −→ f
(x, d) := lim
t→0 +
f (x + td) − f (x)
t
,
appelée dérivée directionnelle de f en x. En conséquence, f ∈ Γ 0 (R n ) est différentiable en x ∈ int(dom f ) si et seulement si ∂f (x) est un singleton (c’est-à-dire
qu’il n’y a qu’un sous-gradient de f en x) ; auquel cas ∂f (x) = {∇f (x)} .
– Soit f ∈ Γ 0 (R n ) ; alors : (s ∈ ∂f (x)) ⇔ (x ∈ ∂f ∗ (s)).
Ceci est résumé symboliquement sous la forme ∂f ∗ = (∂f ) −1 .
– Soit f : R n → R strictement convexe, deux fois différentiable et 1-coercive
sur R n . Supposons de plus que ∇ 2 f (x) soit définie positive pour tout x ∈ R n .
Alors f ∗ jouit des mêmes propriétés et le calcul différentiel sur f ∗ à partir de celui
sur f s’opère comme suit :
∇f
∗ (s) = (∇f )
−1 (s), ∇
2 f
∗ (s) =
∇
2 f ((∇f )
−1 (s))
−1 .
(7.6)
– Soient deux fonctions f 1 et f 2 de Γ 0 (R n ) telles que les intérieurs relatifs de
leurs domaines se coupent ; alors en tout x en lequel f 1 et f 2 sont finies,
∂(f 1 + f 2 )(x) = ∂f 1 (x) + ∂f 2 (x).
(7.7)
(Dans le membre de droite il s’agit d’une somme vectorielle de deux convexes
fermés ; cette règle généralise donc la règle de calcul différentiel usuelle ∇(f 1 +
f 2 )(x) = ∇f 1 (x) + ∇f 2 (x).)
– Soient deux fonctions f 1 et f 2 de Γ 0 (R n ) et x ∈ dom(f 1 f 2 ) pour lequel il
existe (x 1 , x 2 ) ∈ dom f 1 ×dom f 2 tels que (f 1 f 2 )(x) = f 1 (x 1 ) + f 2 (x 2 ) (c’est-àdire l’inf-convolution de f 1 et f 2 est exacte en x 1 + x 2 ) ; alors :
∂(f 1 f 2 )(x) = ∂f 1 (x 1 ) ∩ ∂f 2 (x 2 ).
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il s’ensuit que le calcul sous-différentiel et la transformation de Legendre-Fenchel
sont très étroitement liés.
VII.2.2. Quelques propriétés et règles de calcul
– Si f ∈ Γ 0 (R n ), alors ∂f (x) est assurément non vide dès que x est dans
l’intérieur relatif de dom f.
– Si f ∈ Γ 0 (R n ) et si x ∈ int(dom f ), ∂f (x) est un convexe compact (non
vide) dont la fonction d’appui est
d −→ f
(x, d) := lim
t→0 +
f (x + td) − f (x)
t
,
appelée dérivée directionnelle de f en x. En conséquence, f ∈ Γ 0 (R n ) est différentiable en x ∈ int(dom f ) si et seulement si ∂f (x) est un singleton (c’est-à-dire
qu’il n’y a qu’un sous-gradient de f en x) ; auquel cas ∂f (x) = {∇f (x)} .
– Soit f ∈ Γ 0 (R n ) ; alors : (s ∈ ∂f (x)) ⇔ (x ∈ ∂f ∗ (s)).
Ceci est résumé symboliquement sous la forme ∂f ∗ = (∂f ) −1 .
– Soit f : R n → R strictement convexe, deux fois différentiable et 1-coercive
sur R n . Supposons de plus que ∇ 2 f (x) soit définie positive pour tout x ∈ R n .
Alors f ∗ jouit des mêmes propriétés et le calcul différentiel sur f ∗ à partir de celui
sur f s’opère comme suit :
∇f
∗ (s) = (∇f )
−1 (s), ∇
2 f
∗ (s) =
∇
2 f ((∇f )
−1 (s))
−1 .
(7.6)
– Soient deux fonctions f 1 et f 2 de Γ 0 (R n ) telles que les intérieurs relatifs de
leurs domaines se coupent ; alors en tout x en lequel f 1 et f 2 sont finies,
∂(f 1 + f 2 )(x) = ∂f 1 (x) + ∂f 2 (x).
(7.7)
(Dans le membre de droite il s’agit d’une somme vectorielle de deux convexes
fermés ; cette règle généralise donc la règle de calcul différentiel usuelle ∇(f 1 +
f 2 )(x) = ∇f 1 (x) + ∇f 2 (x).)
– Soient deux fonctions f 1 et f 2 de Γ 0 (R n ) et x ∈ dom(f 1 f 2 ) pour lequel il
existe (x 1 , x 2 ) ∈ dom f 1 ×dom f 2 tels que (f 1 f 2 )(x) = f 1 (x 1 ) + f 2 (x 2 ) (c’est-àdire l’inf-convolution de f 1 et f 2 est exacte en x 1 + x 2 ) ; alors :
∂(f 1 f 2 )(x) = ∂f 1 (x 1 ) ∩ ∂f 2 (x 2 ).
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