Chapitre VII. Initiation au calcul sous-différentiel et de transformées...
L’application f −→ f ∗ est appelée conjugaison ou transformation de
Legendre-Fenchel.
La définition s’étend sans difficulté aux f définies sur un espace euclidien
(E, ·, ··), auquel cas f ∗ est définie sur E ∗ représenté par E via ·, ·· .
Comme conséquence de la définition (7.2) , nous avons l’inégalité suivante :
f
∗ (s) + f (x) s, x pour tout (s, x) ∈ R
n
× R
n ,
appelée inégalité de Fenchel.
Par construction, f ∗ est convexe et semi-continue inférieurement ; cette propriété ajoutée au fait que f vérifie (7.1) entraîne que f ∗ vérifie également (7.1) .
Exemples :
– Si S est une partie non vide de R n et si I S : x ∈ R n −→ I S (x) := 0 si
x ∈ S, +∞ sinon (I S est la fonction indicatrice de S), alors
(I S )
∗ : s ∈ R
n
−→ (I S )
∗ (s) = sup
x∈S
s, x
est la fonction d’appui de S (notée σ S également).
– Si S est une partie fermée non vide de R n , posons
f S : x ∈ R
n
−→ f S (x) :=
1
2
x
2 si x ∈ S, +∞, sinon ;
(7.3)
alors,
(f S )
∗ : s ∈ R
n
−→ (f S )
∗ (s) =
1
2
s
2
− d
2
S (s)
,
où d S désigne la fonction-distance à S.
Notation : Γ 0 (R n ) désigne l’ensemble des f : R n → R ∪ {+∞} qui sont
convexes semi-continues inférieurement sur R n et finies en au moins un point
de R n . On a déja signalé que f ∗ ∈ Γ 0 (R n ) dès que f vérifie (7.1).
VII.1.2. Quelques propriétés et règles de calcul
– Si f est 1-coercive sur R n (i.e. si f (x)/ x → +∞ quand x → +∞),
alors f ∗ est partout finie sur R n (c’est-à-dire dom f ∗ = R n ).
– Soit f : R n → R strictement convexe, différentiable et 1-coercive sur R n ;
alors :
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