VII
INITIATION AU CALCUL
SOUS-DIFFÉRENTIEL
ET DE TRANSFORMÉES
DE LEGENDRE-FENCHEL
Rappels
Les fonctions f : R n → R ∪ {+∞} qui seront considérées, qu’elles soient
convexes ou non, vérifieront au minimum les deux propriétés suivantes :
– Il y a un point au moins en lequel f est finie ;
– Il existe une fonction affine minorant f sur R n
.
(7.1)
Pour de telles fonctions f , on appelle domaine de f l’ensemble des x en
lesquels f prend une valeur finie (dom f := {x ∈ R n | f (x) < +∞}), et épigraphe de f l’ensemble des (x, r) ∈ R n × R « au-dessus du graphe de f »
(epi f := {(x, r) ∈ R n × R | f (x) r}). Si l’inégalité est stricte dans la définition
de epi f , on parlera de l’épigraphe strict de f , et on notera epi s f cet ensemble.
VII.1. La transformation de Legendre-Fenchel
VII.1.1. Définitions
La conjuguée ou transformée de Legendre-Fenchel de f est la fonction f ∗ :
R n → R ∪ {+∞} définie par :
∀s ∈ R
n , f
∗ (s) := sup
x∈R n
{{s, x − f (x)} .
(7.2)