VI.3. Fonctions convexes
Posons u := [(1 − t)U + tV ] −1 c et v := [V − U ]u. D’après ce qui précède et
en raison de la symétrie des matrices en jeu,
f
(t) = 2
[V − U ][(1 − t)U + tV ]
−1 [V − U ]u, u
= 2
[(1 − t)U + tV ]
−1 v, v
.
D’où f (t) 0 puisque [(1 − t)U + tV ] −1 est symétrique définie positive.
f est bien convexe sur I.
2 ◦ ) L’inégalité de convexité (de base) relative à f conduit à :
∀t ∈ [0, 1],
[(1 − t)U + tV ]
−1 c, c
[(1 − t)U
−1 + tV
−1 ]c, c
,
et ce pour tout c ∈ R n . D’où l’inégalité annoncée.
3 ◦ ) De par les résultats des questions précédentes, l’application F :
◦
P n (R) → R qui à A associe F (A) :=
A −1 c, c
est convexe. Par application
de l’inégalité de Jensen :
soit
E[F (A(ω))] F [E(A)],
E
A −1 (ω)c, c
[E(A)] −1 c, c
,
d’où le résultat escompté puisque E
A −1 (ω)c, c
=
E(A −1 )c, c
.
2 e approche
4 ◦ ) Δ(ω)A −1 (ω)(ω) = A(ω) + E(A)A −1 (ω)E(A) − 2E(A),
d’où :
E[Δ(ω)A
−1 (ω)(ω)] = −E(A) + E(A)E(A
−1 )E(A)
et
[E(A)]
−1
E[Δ(ω)A
−1 (ω)(ω)][E(A)]
−1 = −[E(A)]
−1 + E(A
−1 ).
5 ◦ ) Comme la matrice M := E[Δ(ω)A −1 (ω)(ω)] est semi-définie positive,
il en est de même de [E(A)] −1 M [E(A)] −1 . D’où l’inégalité annoncée.
*** Exercice VI.30. Soit
◦
P n (R) le cône convexe ouvert des matrices symétriques
définies positives de taille n. On définit f : R n ×
◦
P n (R) → R comme suit :
∀ x ∈ R
n , ∀ A ∈
◦
P n (R), f(x, A) :=
A
−1 x, x
(·, ·· étant le produit scalaire usuel sur R n ).
L’application f est-elle convexe ?
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