Chapitre VI. Ensembles et fonctions convexes. Projection...
Solution : La réponse est oui. Alors que la convexité de x −→
A −1 x, x
est facile et celle de A −→
A −1 x, x
peut être aisément démontrée, c’est la
convexité de (x, A) −→
A −1 x, x
comme fonction du couple (x, A) qui est
prouvée ici.
– Soit tout d’abord A := diag(a 1 , . . . , a n ), B := diag(b 1 , . . . , b n ), avec les
a i et b i strictement positifs et α ∈ ]0, 1[. Alors :
f (αx + (1 − α)y, αA + (1 − α)B) =
n
i=1
(αx i + (1 − α)y i ) 2
αa i + (1 − α)b i
=
n
i=1
α
x 2
i
a i
+ (1 − α)
y 2
i
b i
− α(1 − α)(b i x i − a i y i )
2
n
i=1
α
x 2
i
a i
+ (1 − α)
y 2
i
b i
= αf (x, A) + (1 − α)f (y, B).
– Soient à présent A et B quelconques dans
◦
P n (R). On peut trouver Q
inversible telle que QAQ et QBQ soient toutes deux diagonales (réduction
simultanée des formes quadratiques associées à A et B, possible car A est
définie positive). Or
f (x, A) =
A
−1 x, x
=
Q
−T A
−1 Q
−1 Qx, Qx
=
(QAQ
)
−1 Qx, Qx
= f (Qx, QAQ
) ;
donc
αf (x, A) + (1 − α)f (y, B) − f (αx + (1 − α)y, αA + (1 − α)B)
= αf (Qx, QAQ ) + (1 − α)f (Qy, QBQ )
= −f (αQx + (1 − α)Qy, αQAQ + (1 − α)QBQ ),
0 d’après le résultat du 1 er point.
** Exercice VI.31. Soit f : R n → R convexe et de classe C 2 sur R n , soit C un
convexe fermé de R n .
On suppose qu’il existe x ∈ C minimisant f sur C.
1 ◦ ) Montrer qu’un point ˜
x ∈ C minimise f sur C si, et seulement si,
∇f (x), ˜
x − x = 0 et ∇f (˜ x) = ∇f (x).
(6.34)
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