Chapitre VI. Ensembles et fonctions convexes. Projection...
2 e approche
4 ◦ ) On pose Δ(ω) := A(ω) − E(A). Établir
E(A
−1 ) = [E(A)]
−1 + [E(A)]
−1
E(ΔA
−1 Δ)[E(A)]
−1 .
5 ◦ ) Vérifier que [E(A)] −1 E(ΔA −1 Δ)[E(A)] −1 est semi-définie positive. En
déduire l’inégalité E(A −1 ) [E(A)] −1 .
Solution : 1 re approche
1 ◦ ) On désigne par
◦
P n (R) l’ouvert (c’est en fait un cône convexe ouvert)
des matrices réelles symétriques définies positives de taille n.
Puisque U et V sont dans
◦
P n (R),
I :=
t ∈ R | (1 − t)U + tV ∈
◦
P n (R)
est un intervalle ouvert de R contenant [0,1].
On peut voir f comme la composée des applications suivantes :
t ∈ I
ϕ 1
−→ ϕ 1 (t) := (1 − t)U + tV
M ∈
◦
P n (R)
ϕ 2
−→ ϕ 2 (M ) := M
−1
A ∈
◦
P n (R)
ϕ 3
−→ ϕ 3 (A) := Ac, c .
ϕ 1 est une fonction affine, donc de classe C ∞ , et ϕ
1 (t) = V − U pour tout
t ∈ I.
ϕ 2 est également une fonction de classe C ∞ , et sa différentielle première
en M est donnée par
H −→ Dϕ 2 (M )(H) = −M
−1 HM
−1 .
ϕ 3 est linéaire (continue), donc de classe C ∞ , et Dϕ 3 (A) = ϕ 3 en tout A.
Par suite, f = ϕ 3 ◦ ϕ 2 ◦ ϕ 1 est C ∞ sur I ⊃ [0, 1] et, pour tout t ∈ I,
f
(t) = −
[(1 − t)U + tV ]
−1 [V − U ][(1 − t)U + tV ]
−1 c, c
,
f
(t) = 2
[(1 − t)U + tV ]
−1 [V − U ][(1 − t)U + tV ]
−1 [V − U ]
[(1 − t)U + tV ]
−1 c, c
.
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