VI.3. Fonctions convexes
– ϕ(t) = t ln t. Alors ϕ (t) = − ln t, I ϕ (p, q) =
n
i=1
p i ln
p i
q i
.
– ϕ(t) = (1 −
√
t) 2 . Ici ϕ = ϕ, I ϕ (p, q) =
n
i=1
(
√ p i −
√ q i ) 2 .
– ϕ(t) = t α . Alors ϕ (t) = t 1−α , I ϕ (p, q) =
n
i=1
(p i ) α (q i ) 1−α .
– ϕ(t) = (t − 1) 2 . Alors ϕ (t) = t +
1
t − 2, I ϕ (p, q) =
n
i=1
(p i −q i ) 2
q i
.
– ϕ(t) = | t − 1 | . Alors ϕ = ϕ, I ϕ (p, q) =
n
i=1
| p i − q i | .
** Exercice VI.29.
Sur l’espérance mathématique de l’inverse d’une matrice
aléatoire
Si X est une variable aléatoire strictement positive, E
1
X
1
E(X) pourvu
que E(X) et E
1
X
existent. Dans cet exercice, on propose une généralisation
de cette propriété au cas matriciel.
On désigne par matrice aléatoire une matrice A dont les coefficients a ij
sont des variables aléatoires. Lorsque les a ij sont intégrables, on dira que A est
intégrable et on posera E(A) := [E(a ij )] 1i,jn .
Soit A une matrice carrée aléatoire telle que, presque sûrement, A(ω) =
[a ij (ω)] 1i,jn soit réelle, symétrique et définie positive ; on suppose que A et
A −1 sont intégrables. On se propose de démontrer que E(A −1 ) [E(A)] −1 .
1 re approche
1 ◦ ) Soient U et V deux matrices réelles symétriques définies positives de
taille n, et c un élément de R n . On définit f : [0, 1] → R comme suit :
∀t ∈ [0, 1], f(t) :=
[(1 − t)U + tV ]
−1 c, c
.
Montrer que f est continue sur [0,1] et deux fois dérivable sur ]0,1[. En déduire
que f est convexe.
2 ◦ ) En déduire :
∀t ∈ [0, 1], [(1 − t)U + tV ]
−1
(1 − t)U
−1 + tV
−1 .
3 ◦ ) Montrer alors, à l’aide de l’inégalité de Jensen,
E
A
−1 c, c
[E(A)]
−1 c, c
.
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