Chapitre VI. Ensembles et fonctions convexes. Projection...
1 ◦ ) Vérifier que I ϕ est convexe. En déduire l’inégalité suivante :
I ϕ (p, q)
n
i=1
q i
ϕ
⎛
⎜
⎜
⎝
n
i=1
p i
n
i=1
q i
⎞
⎟
⎟
⎠ .
2 ◦ ) On définit ϕ : R +
∗ → R par ϕ (x) := xϕ(
1
x ).
(i) ϕ est-elle convexe ?
(ii) Comment se comparent I ϕ et I ϕ ?
3 ◦ ) Donner les expressions de ϕ et I ϕ dans les cas suivants : ϕ(t) =
t ln t, (1 −
√
t) 2 , t α avec α > 1, (t − 1) 2 , | t − 1 | .
Solution : 1 ◦ ) Soit f : (R +
∗ ) × (R +
∗ ) −→ R définie par f (x, y) := yϕ
x
y
. Il
nous suffit de vérifier que f est convexe. À cet effet, prenons (x, y) et (u, v)
dans (R ∗
+ ) × (R ∗
+ ) et 0 < λ < 1. En notant λ = 1 − λ, la convexité de ϕ
implique
ϕ
λx + λu
λy + λv
= ϕ
λy
λy + λv
x
y
+
λv
λy + λv
u
v
λ
λy + λv
yϕ
x
y
+
λ
λy + λv
vϕ
u
v
.
Après multiplication par λy + λv, on obtient
(λy + λv)ϕ
λx + λu
λy + λv
λyϕ
x
y
+ λvϕ
u
v
,
ce qui est l’inégalité de convexité (sur f ) cherchée.
Dans l’inégalité de Jensen ϕ
n
i=1
t i x i
n
i=1
t i ϕ(x i ), faisons t i =
q i
n
i=1
q i
, x i =
p i
q i
. On en déduit immédiatement l’inégalité demandée.
2 ◦ ) (i) Oui. C’est un résultat classique sur les fonctions convexes de la variable réelle (rappelé en début de chapitre), mais qui est aussi une conséquence
de ce qui a été démontré au-dessus.
(ii) I ϕ (p, q) = I ϕ (q, p).
3 ◦ ) I ϕ (p, q) est une sorte de mesure de proximité entre p et q ; elle joue un
rôle important lorsque p = (p 1 , . . . , p n ) et q = (q 1 , . . . , q n ) sont des distributions de probabilité (
i
p i =
i
q i = 1) notamment.
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1 ◦ ) Vérifier que I ϕ est convexe. En déduire l’inégalité suivante :
I ϕ (p, q)
n
i=1
q i
ϕ
⎛
⎜
⎜
⎝
n
i=1
p i
n
i=1
q i
⎞
⎟
⎟
⎠ .
2 ◦ ) On définit ϕ : R +
∗ → R par ϕ (x) := xϕ(
1
x ).
(i) ϕ est-elle convexe ?
(ii) Comment se comparent I ϕ et I ϕ ?
3 ◦ ) Donner les expressions de ϕ et I ϕ dans les cas suivants : ϕ(t) =
t ln t, (1 −
√
t) 2 , t α avec α > 1, (t − 1) 2 , | t − 1 | .
Solution : 1 ◦ ) Soit f : (R +
∗ ) × (R +
∗ ) −→ R définie par f (x, y) := yϕ
x
y
. Il
nous suffit de vérifier que f est convexe. À cet effet, prenons (x, y) et (u, v)
dans (R ∗
+ ) × (R ∗
+ ) et 0 < λ < 1. En notant λ = 1 − λ, la convexité de ϕ
implique
ϕ
λx + λu
λy + λv
= ϕ
λy
λy + λv
x
y
+
λv
λy + λv
u
v
λ
λy + λv
yϕ
x
y
+
λ
λy + λv
vϕ
u
v
.
Après multiplication par λy + λv, on obtient
(λy + λv)ϕ
λx + λu
λy + λv
λyϕ
x
y
+ λvϕ
u
v
,
ce qui est l’inégalité de convexité (sur f ) cherchée.
Dans l’inégalité de Jensen ϕ
n
i=1
t i x i
n
i=1
t i ϕ(x i ), faisons t i =
q i
n
i=1
q i
, x i =
p i
q i
. On en déduit immédiatement l’inégalité demandée.
2 ◦ ) (i) Oui. C’est un résultat classique sur les fonctions convexes de la variable réelle (rappelé en début de chapitre), mais qui est aussi une conséquence
de ce qui a été démontré au-dessus.
(ii) I ϕ (p, q) = I ϕ (q, p).
3 ◦ ) I ϕ (p, q) est une sorte de mesure de proximité entre p et q ; elle joue un
rôle important lorsque p = (p 1 , . . . , p n ) et q = (q 1 , . . . , q n ) sont des distributions de probabilité (
i
p i =
i
q i = 1) notamment.
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