VI.3. Fonctions convexes
Soit x 0 ∈ S et prenons les réels α − et α + vérifiant : α + < min x∈S
g(x)
h(x)
et
g(x 0 )
h(x 0 )
< α − ; il s’ensuit que θ(α − ) < 0 et θ(α + ) > 0.
Il existe donc un seul α tel que θ(α) = 0.
2 ◦ ) Soit x une solution de (P). On a :
∀ x ∈ S,
g(x)
h(x)
g(x)
h(x)
=: α ,
d’où
min
x∈S
{g(x) − αh(x)} 0, g(x) − αh(x) = 0,
soit θ(α) = 0.
Réciproquement, soit α ∈ R tel que θ(α) = min x∈S {g(x) − αh(x)} = 0 et
considérons x ∈ S tel que g(x) − αh(x) = 0, i.e. α = f (x). Alors :
∀x ∈ S, g(x) − αh(x) g(x) − αh(x) = 0,
soit encore :
∀x ∈ S,
g(x)
h(x)
α =
g(x)
h(x)
,
c’est-à-dire que x est solution de (P).
3 ◦ ) La première observation est que f = g/h est à présent quasi-convexe
sur S.
En effet :
∀r 0, {x ∈ S | f (x) r} = {x ∈ S | g(x) − rh(x) 0} est convexe.
On peut donc penser à approcher la valeur optimale dans (P) par une méthode
de minimisation d’une fonction quasi-convexe sur un convexe.
Au vu du résultat de la 2 e question, une deuxième méthode consiste à résoudre l’équation (dans R) θ(α) = 0 par une méthode itérative ; l’évaluation
θ(α k ) résulte de la minimisation de la fonction g − α k h qui est convexe sur S.
** Exercice VI.28. Soit ϕ : R +
∗ → R convexe. On définit I ϕ : (R +
∗ ) n ×(R +
∗ ) n → R
par
(p = (p 1 , . . . , p n ), q = (q 1 , . . . , q n )) −→ I ϕ (p, q) :=
n
i=1
q i ϕ
p i
q i
.
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Soit x 0 ∈ S et prenons les réels α − et α + vérifiant : α + < min x∈S
g(x)
h(x)
et
g(x 0 )
h(x 0 )
< α − ; il s’ensuit que θ(α − ) < 0 et θ(α + ) > 0.
Il existe donc un seul α tel que θ(α) = 0.
2 ◦ ) Soit x une solution de (P). On a :
∀ x ∈ S,
g(x)
h(x)
g(x)
h(x)
=: α ,
d’où
min
x∈S
{g(x) − αh(x)} 0, g(x) − αh(x) = 0,
soit θ(α) = 0.
Réciproquement, soit α ∈ R tel que θ(α) = min x∈S {g(x) − αh(x)} = 0 et
considérons x ∈ S tel que g(x) − αh(x) = 0, i.e. α = f (x). Alors :
∀x ∈ S, g(x) − αh(x) g(x) − αh(x) = 0,
soit encore :
∀x ∈ S,
g(x)
h(x)
α =
g(x)
h(x)
,
c’est-à-dire que x est solution de (P).
3 ◦ ) La première observation est que f = g/h est à présent quasi-convexe
sur S.
En effet :
∀r 0, {x ∈ S | f (x) r} = {x ∈ S | g(x) − rh(x) 0} est convexe.
On peut donc penser à approcher la valeur optimale dans (P) par une méthode
de minimisation d’une fonction quasi-convexe sur un convexe.
Au vu du résultat de la 2 e question, une deuxième méthode consiste à résoudre l’équation (dans R) θ(α) = 0 par une méthode itérative ; l’évaluation
θ(α k ) résulte de la minimisation de la fonction g − α k h qui est convexe sur S.
** Exercice VI.28. Soit ϕ : R +
∗ → R convexe. On définit I ϕ : (R +
∗ ) n ×(R +
∗ ) n → R
par
(p = (p 1 , . . . , p n ), q = (q 1 , . . . , q n )) −→ I ϕ (p, q) :=
n
i=1
q i ϕ
p i
q i
.
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