Chapitre VI. Ensembles et fonctions convexes. Projection...
Les fonctions y −→ e
a k ,y sont convexes sur R n (d’accord ?), les réels c k
sont positifs, donc la fonction g est convexe. (P) est alors équivalent au problème de minimisation convexe suivant :
ˆ
P
Min g 0 (y)
g i (y) θ pour i = 1, . . . , m.
** Exercice VI.27. Soient S un compact non vide de R n et g, h : S → R deux
fonctions continues. On suppose : h(x) > 0 pour tout x ∈ S, et on considère
le problème d’optimisation (dit fractionnaire) suivant :
(P)
⎧
⎨
⎩
Minimiser f (x) :=
g(x)
h(x)
x ∈ S.
À (P) on associe le problème d’optimisation suivant, paramétré par α ∈ R :
(P α )
Minimiser g(x) − αh(x)
x ∈ S.
1 ◦ ) Montrer que la fonction α −→ θ(α) := min x∈S {g(x) − αh(x)} est
concave, continue, strictement décroissante, et que l’équation θ(α) = 0 a une
seule solution.
2 ◦ ) Montrer :
– si x est solution de (P), alors α := f (x) vérifie θ(α) = 0 ;
– si θ(α) = 0, alors tout x ∈ S tel que f (x) = α est solution de (P).
3 ◦ ) On suppose : S convexe, g convexe positive sur S, h concave sur S.
Quelles méthodes peut-on préconiser pour approcher d’une manière itérative la
valeur optimale dans (P) ?
Solution : 1 ◦ ) La fonction θ est l’infimum de la famille de fonctions affines
a x : α ∈ R −→ g(x) − αh(x), indexée par x ∈ S ; elle est donc concave sur R.
La fonction (α, x) −→ ϕ(α, x) := g(x) − αh(x) étant continue et S compact, la fonction α −→ θ(α) = min x∈S ϕ(α, x) est continue (ceci est aisé à
vérifier).
Prenons α 1 < α 2 et considérons une solution x 1 de (P α 1 ) ; alors
θ(α 1 ) = g(x 1 ) − α 1 h(x 1 ) > g(x 1 ) − α 2 h(x 1 ) (car h(x 1 ) > 0)
min
x∈S
{g(x) − α 2 h(x)} =: θ(α 2 ).
262
Les fonctions y −→ e
a k ,y sont convexes sur R n (d’accord ?), les réels c k
sont positifs, donc la fonction g est convexe. (P) est alors équivalent au problème de minimisation convexe suivant :
ˆ
P
Min g 0 (y)
g i (y) θ pour i = 1, . . . , m.
** Exercice VI.27. Soient S un compact non vide de R n et g, h : S → R deux
fonctions continues. On suppose : h(x) > 0 pour tout x ∈ S, et on considère
le problème d’optimisation (dit fractionnaire) suivant :
(P)
⎧
⎨
⎩
Minimiser f (x) :=
g(x)
h(x)
x ∈ S.
À (P) on associe le problème d’optimisation suivant, paramétré par α ∈ R :
(P α )
Minimiser g(x) − αh(x)
x ∈ S.
1 ◦ ) Montrer que la fonction α −→ θ(α) := min x∈S {g(x) − αh(x)} est
concave, continue, strictement décroissante, et que l’équation θ(α) = 0 a une
seule solution.
2 ◦ ) Montrer :
– si x est solution de (P), alors α := f (x) vérifie θ(α) = 0 ;
– si θ(α) = 0, alors tout x ∈ S tel que f (x) = α est solution de (P).
3 ◦ ) On suppose : S convexe, g convexe positive sur S, h concave sur S.
Quelles méthodes peut-on préconiser pour approcher d’une manière itérative la
valeur optimale dans (P) ?
Solution : 1 ◦ ) La fonction θ est l’infimum de la famille de fonctions affines
a x : α ∈ R −→ g(x) − αh(x), indexée par x ∈ S ; elle est donc concave sur R.
La fonction (α, x) −→ ϕ(α, x) := g(x) − αh(x) étant continue et S compact, la fonction α −→ θ(α) = min x∈S ϕ(α, x) est continue (ceci est aisé à
vérifier).
Prenons α 1 < α 2 et considérons une solution x 1 de (P α 1 ) ; alors
θ(α 1 ) = g(x 1 ) − α 1 h(x 1 ) > g(x 1 ) − α 2 h(x 1 ) (car h(x 1 ) > 0)
min
x∈S
{g(x) − α 2 h(x)} =: θ(α 2 ).
262