VI.3. Fonctions convexes
D’une manière claire, x t ∈ C, x t − x = η et x t = x. Si on avait
f (x) < f(x), on aurait
f (x) < f(x t ) max {f (x), f(x)} = f (x),
d’où la contradiction. Donc on a bien f (x) f (x).
(ii) Soit x un maximum local strict de f sur C. Si x n’était pas un point
extrémal de C, on pourrait trouver u = 0 tel que
x − u ∈ C
x + u ∈ C
et
f (x − u) < f(x)
f (x + u) < f(x).
Par suite, sachant que x =
1
2 [(x − u) + (x + u)], la quasi-convexité de f ferait
que
f (x) max {f (x − u), f(x + u)} < f(x),
d’où la contradiction.
* Exercice VI.26. Soit Ω := {x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ R n | x i > 0 pour tout i} . On
dit que f : Ω → R est de la forme (G) lorsqu’elle s’exprime de la manière
suivante :
x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ Ω −→ f (x) =
p
k=1
c k x
a 1k
1 x
a 2k
2 . . . x
a nk
n ,
où les c k sont des réels positifs et les a ik des réels quelconques (éventuellement
< 0).
Des problèmes d’ingénierie, de génie chimique notamment, conduisent à des
problèmes de minimisation du type :
(P)
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
Min f 0 (x)
x ∈ Ω
f i (x) θ pour i = 1, . . . , m,
(θ réel > 0)
où les fonctions f 0 , f 1 , . . . , f m sont du type (G).
Montrer que, grâce à un changement de variables adéquat, (P) peut être
transformé en un problème de minimisation convexe qui lui est équivalent.
Solution : Posons y i = ln x i (i = 1, . . . , n), de manière qu’une fonction f de
la forme (G) se transforme en
y = (y 1 , . . . , y n ) ∈ R
n
−→ g(y) := f (e
y 1 , . . . , e
yn ) =
p
k=1
c k e
a k ,y ,
avec a k := (a 1k , a 2k , . . . , a nk ).
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