Chapitre VI. Ensembles et fonctions convexes. Projection...
Commentaire :
– Un exemple typique est avec f : x −→ → x − a 2 , où · · désigne la norme
euclidienne usuelle de R n et a ∈ R n ; alors le point de C le plus éloigné de a est
nécessairement un point extrémal de C.
– Prolongement. Soit C un compact non vide de R n (que l’on peut prendre
convexe sans perte de généralité) ; on suppose que pour tout a ∈ R n , il n’y a qu’un
point qui soit le plus éloigné de a dans C. Montrer que C est nécessairement réduit
à un point. Hé hé...
** Exercice VI.25. Soient C un convexe de R n et f : C → R. On dit que f est
quasi-convexe sur C lorsque
x 1 , x 2 ∈ C
α ∈ ]0, 1[
⇒ (f (αx 1 + (1 − α)x 2 ) max {f (x 1 ), f(x 2 )}) .
(6.33)
1 ◦ ) Montrer que f est quasi-convexe sur C si et seulement si :
∀r ∈ R, {x ∈ C | f (x) r} est convexe.
2 ◦ ) Soit f quasi-convexe sur C.
(i) Montrer que tout minimum local strict de f (sur C) est un minimum
global.
(ii) Montrer que tout maximum local strict de f est nécessairement un point
extrémal de C (et se trouve donc sur la frontière de C).
Solution :
1 ◦ ) Soit f vérifiant (6.33) et considérons S r (f ) :=
{x ∈ C | f (x) r} .
Si x 1 et x 2 sont pris dans S r (f ) et α dans ]0, 1[ , f(αx 1 + (1 − α)x 2 ) r
d’après (6.33) et donc αx 1 + (1 − α)x 2 ∈ S r (f ). L’ensemble S r (f ) est bien
convexe.
Réciproquement, étant donnés x 1 et x 2 dans C et α dans ]0, 1[ , posons r := max {f (x 1 ), f(x 2 )} . Les points x 1 et x 2 sont dans S r (f ) et la
convexité de S r (f ) fait alors que αx 1 + (1 − α)x 2 est aussi dans S r (f ). D’où
f (αx 1 + (1 − α)x 2 ) r.
2 ◦ ) (i) Soit x un minimum local strict de f sur C ; soit η > 0 tel que
x − x η
x ∈ C, x = x
⇒ (f (x) > f(x)) .
Prenons x ∈ C, x − x > η, et posons t :=
η
x−x , x t := (1 − t)x + tx.
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Commentaire :
– Un exemple typique est avec f : x −→ → x − a 2 , où · · désigne la norme
euclidienne usuelle de R n et a ∈ R n ; alors le point de C le plus éloigné de a est
nécessairement un point extrémal de C.
– Prolongement. Soit C un compact non vide de R n (que l’on peut prendre
convexe sans perte de généralité) ; on suppose que pour tout a ∈ R n , il n’y a qu’un
point qui soit le plus éloigné de a dans C. Montrer que C est nécessairement réduit
à un point. Hé hé...
** Exercice VI.25. Soient C un convexe de R n et f : C → R. On dit que f est
quasi-convexe sur C lorsque
x 1 , x 2 ∈ C
α ∈ ]0, 1[
⇒ (f (αx 1 + (1 − α)x 2 ) max {f (x 1 ), f(x 2 )}) .
(6.33)
1 ◦ ) Montrer que f est quasi-convexe sur C si et seulement si :
∀r ∈ R, {x ∈ C | f (x) r} est convexe.
2 ◦ ) Soit f quasi-convexe sur C.
(i) Montrer que tout minimum local strict de f (sur C) est un minimum
global.
(ii) Montrer que tout maximum local strict de f est nécessairement un point
extrémal de C (et se trouve donc sur la frontière de C).
Solution :
1 ◦ ) Soit f vérifiant (6.33) et considérons S r (f ) :=
{x ∈ C | f (x) r} .
Si x 1 et x 2 sont pris dans S r (f ) et α dans ]0, 1[ , f(αx 1 + (1 − α)x 2 ) r
d’après (6.33) et donc αx 1 + (1 − α)x 2 ∈ S r (f ). L’ensemble S r (f ) est bien
convexe.
Réciproquement, étant donnés x 1 et x 2 dans C et α dans ]0, 1[ , posons r := max {f (x 1 ), f(x 2 )} . Les points x 1 et x 2 sont dans S r (f ) et la
convexité de S r (f ) fait alors que αx 1 + (1 − α)x 2 est aussi dans S r (f ). D’où
f (αx 1 + (1 − α)x 2 ) r.
2 ◦ ) (i) Soit x un minimum local strict de f sur C ; soit η > 0 tel que
x − x η
x ∈ C, x = x
⇒ (f (x) > f(x)) .
Prenons x ∈ C, x − x > η, et posons t :=
η
x−x , x t := (1 − t)x + tx.
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