VI.3. Fonctions convexes
– Puisque u
+
i et u
−
i sont toujours positifs ou nuls, avoir (6.31) signifie :
u
+
i = 0 pour tout i ∈ I 0 (x) et u
−
i = 0 pour tout i ∈ I 1 (x) ; c’est-àdire (6.32) .
– [(6.32) ⇒ (6.30)] est évident ; démontrons [(6.30) ⇒ (6.32)].
Si i ∈ I 0 (x), posons ˜
x = (˜ x 1 , . . . , ˜
x n ) défini par ˜
x j :=
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
1 si j = i,
1 si j ∈ I 1 (x),
0 sinon.
Alors
i∈I 0 (x)
u i ˜
x i +
i∈I 1 (x)
u i (˜ x i − 1) = u i 0 d’après (6.30) .
De manière similaire, si i ∈ I 1 (x), posons ˜
x défini par
˜
x j :=
0 si j ∈ {i} ∪ I 0 (x),
1 sinon.
D’après (6.30) , −u i 0.
Il est bon de visualiser ces résultats avec les points extrémaux de [0, 1]
2 ou
[0, 1]
3 .
3 ◦ ) x ∈ C est un minimum de f sur C si, et seulement si, l’opposé de
∇f (x) est dans N (C, x). Dans le cas où x ∈ {0, 1}
n , cela se traduit donc par :
∂f
∂x i
(x) 0 pour tout i ∈ I 0 (x)
et
∂f
∂x i
(x) 0 pour tout i ∈ I 1 (x).
* Exercice VI.24. Soient f : R n → R une fonction strictement convexe et C un
convexe compact non vide de R n . Montrer qu’un point maximisant f sur C est
nécessairement un point extrémal de C.
Solution : La fonction f , puisque supposée convexe sur R n , y est continue ;
C est supposé compact : il existe donc x ∈ C maximisant f sur C.
Supposons que x ne soit pas un point extrémal de C : il existe α ∈ ]0, 1[ , x 1
et x 2 dans C, différents, tels que x = αx 1 +(1−α)x 2 . Mais, f étant strictement
convexe,
f (x) < αf(x 1 ) + (1 − α)f (x 2 )
< αf(x) + (1 − α)f (x) = f (x),
d’où la contradiction.
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