Chapitre VI. Ensembles et fonctions convexes. Projection...
Commentaire : L’opération de projection sur un convexe fermé ainsi que la décomposition de Moreau, dont quelques propriétés ou exemples font l’objet des
exercices précédents, prennent toute leur importance dans le contexte des espaces
de Hilbert réels (espaces fonctionnels de référence dans l’étude de problèmes variationnels).
** Exercice VI.23. Soit C := [0, 1] n .
1 ◦ ) Quels sont les points extrémaux de C ?
2 ◦ ) Soit x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ {0, 1}
n . On se propose de déterminer le cône
normal N (C, x) à C en x. Pour cela on pose I 0 (x) := {i | x i = 0} et I 1 (x) :=
{i | x i = 1} .
Démontrer l’équivalence des énoncés suivants :
u = (u 1 , . . . , u n ) ∈ N (C, x) ;
(6.28)
i∈I 0 (x)
u i x i +
i∈I 1 (x)
u i (x i − 1) 0 pour tout x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ [0, 1]
n ; (6.29)
i∈I 0 (x)
u i ˜
x i +
i∈I 1 (x)
u i (˜ x i − 1) 0 pour tout ˜
x = (˜ x 1 , . . . , ˜
x n ) ∈ {0, 1}
n ; (6.30)
i∈I 0 (x)
u
+
i +
i∈I 1 (x)
u
−
i = 0 ;
(6.31)
u i 0 si i ∈ I 0 (x) et u i 0 si i ∈ I 1 (x).
(6.32)
3 ◦ ) Soit à minimiser sur C une fonction convexe différentiable f . Comment
caractériser x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ {0, 1}
n minimum de f sur C ?
Solution : 1 ◦ ) L’ensemble ext C des points extrémaux de C est extC =
{0, 1}
n .
2 ◦ ) – Par définition, u ∈ N (C, x) signifie : u, x − x 0 pour tout x ∈ C.
Cela se traduit par :
i∈I 0 (x)
u i x i +
i∈I 1 (x)
u i (x i − 1) 0 pour tout x ∈ C.
Donc (6.28) ⇔ (6.29) .
– Comme ext C = {0, 1}
n et que C = conv(ext C), avoir u, x − x 0
pour tout x ∈ C équivaut à avoir u, ˜
x − x 0 pour tout ˜
x ∈ ext C. D’où
l’équivalence de (6.29) et (6.30) .
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Commentaire : L’opération de projection sur un convexe fermé ainsi que la décomposition de Moreau, dont quelques propriétés ou exemples font l’objet des
exercices précédents, prennent toute leur importance dans le contexte des espaces
de Hilbert réels (espaces fonctionnels de référence dans l’étude de problèmes variationnels).
** Exercice VI.23. Soit C := [0, 1] n .
1 ◦ ) Quels sont les points extrémaux de C ?
2 ◦ ) Soit x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ {0, 1}
n . On se propose de déterminer le cône
normal N (C, x) à C en x. Pour cela on pose I 0 (x) := {i | x i = 0} et I 1 (x) :=
{i | x i = 1} .
Démontrer l’équivalence des énoncés suivants :
u = (u 1 , . . . , u n ) ∈ N (C, x) ;
(6.28)
i∈I 0 (x)
u i x i +
i∈I 1 (x)
u i (x i − 1) 0 pour tout x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ [0, 1]
n ; (6.29)
i∈I 0 (x)
u i ˜
x i +
i∈I 1 (x)
u i (˜ x i − 1) 0 pour tout ˜
x = (˜ x 1 , . . . , ˜
x n ) ∈ {0, 1}
n ; (6.30)
i∈I 0 (x)
u
+
i +
i∈I 1 (x)
u
−
i = 0 ;
(6.31)
u i 0 si i ∈ I 0 (x) et u i 0 si i ∈ I 1 (x).
(6.32)
3 ◦ ) Soit à minimiser sur C une fonction convexe différentiable f . Comment
caractériser x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ {0, 1}
n minimum de f sur C ?
Solution : 1 ◦ ) L’ensemble ext C des points extrémaux de C est extC =
{0, 1}
n .
2 ◦ ) – Par définition, u ∈ N (C, x) signifie : u, x − x 0 pour tout x ∈ C.
Cela se traduit par :
i∈I 0 (x)
u i x i +
i∈I 1 (x)
u i (x i − 1) 0 pour tout x ∈ C.
Donc (6.28) ⇔ (6.29) .
– Comme ext C = {0, 1}
n et que C = conv(ext C), avoir u, x − x 0
pour tout x ∈ C équivaut à avoir u, ˜
x − x 0 pour tout ˜
x ∈ ext C. D’où
l’équivalence de (6.29) et (6.30) .
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