VI.3. Fonctions convexes
** Exercice VI.22. Décomposition de Moreau
Soient (H, ·, ··) un espace euclidien et K un cône convexe fermé non vide
de H.
On désigne par K ◦ le cône polaire de K, c’est-à-dire l’ensemble
K
◦ = {x ∈ H | |x, y 0 pour tout y ∈ K} .
Le théorème de décomposition de Moreau affirme que les propriétés (1) et (2)
suivantes sont équivalentes :
(1)
z = x + y, x ∈ K, y ∈ K ◦ , et x, y = 0 ;
(2)
x = p K (z), y = p K ◦ (z).
La décomposition figurant en (1) s’appelle la décomposition de Moreau de z
suivant K et K ◦ .
Dans chacun des deux exemples qui suivent, déterminer le cône polaire de
K et la décomposition de Moreau de l’élément de H proposé.
1 ◦ ) H = R n muni de son produit scalaire usuel ; K est l’orthant positif (R + ) n
de R n ; l’élément à décomposer est un élément quelconque de R n .
2 ◦ ) H = S n (R) muni du produit scalaire A, B := trace de AB ; K est le
cône des matrices (symétriques) semi-définies positives ; l’élément à décomposer
est un élément quelconque de S n (R).
Solution : 1 ◦ ) K ◦ = −K ; la décomposition de Moreau de z = (z 1 , . . . , z n ) ∈
R n suivant K et K ◦ est z = z + + z − , où z + = (z
+
1 , . . . , z +
n ) et z − =
(z
−
1 , . . . , z −
n ). Ici u − signifie max(−u, 0).
2 ◦ ) K ◦ = −K, c’est-à-dire le cône des matrices (symétriques) semi-définies
négatives (revoir l’Exercice I.10, 2 ◦ ), si nécessaire). Étant donné Z ∈ H, soit
Ω une matrice orthogonale telle que
Ω
ZΩ = diag(λ 1 , . . . , λ n )
(matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont les valeurs propres (réelles) de Z).
De façon naturelle, on pose
X := Ω diag (λ
+
1 , . . . , λ
+
n )Ω
, Y := Ω diag (λ
−
1 , . . . , λ
−
n )Ω
.
Alors Z = X + Y est la décomposition de Moreau cherchée.
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