Chapitre VI. Ensembles et fonctions convexes. Projection...
En particulier pour d = −∇f (x),
f [p C (x − t∇f (x))] − f (x)
t
→ t→0 +
∇f (x), p T (C,x) (−∇f (x))
.
Lorsque l’on projette sur un cône convexe fermé K (comme c’est le cas ici
avec T (C, x)), on a la propriété suivante :
(u = p K (u)) ⇒ (u ∈ K et u − u, u = 0) .
(u, u = u
2 )
Dans le cas qui nous concerne
(g x )
+ (0) =
∇f (x), p T (C,x) (−∇f (x))
= − − p T (C,x) (−∇f (x))
2 .
(ii) Lorsque x ne vérifie pas l’une des conditions équivalentes du 1 ◦ ), on a
(g x )
+ (0) < 0 comme cela est clair d’après l’expression de (g x )
+ (0) ci-dessus.
3 ◦ ) Par construction : x k ∈ C et f (x k+1 ) f (x k ) pour tout k.
Soit {x kn }, extraite de {x k } , convergeant vers x (x ∈ C nécessairement).
Raisonnons par l’absurde et supposons que − − p T (C,x) (−∇f (x)) 2 < 0.
Si t minimise t −→ g x (t) := f [p C (x − t∇f (x))] sur R + , t > 0 nécessairement et g x (t) < g x (0) = f (x).
Ainsi, pour n assez grand,
f [p C (x kn − t∇f (x kn ))] < f(x).
(6.27)
Comme {f (x k )} est décroissante (toute la suite !) et f continue, f (x k ) →
f (x) quand k → +∞ (convergence de toute la suite {f (x k )}).
Mais
f (x) f (x kn+1 ) = f [p C (x kn − t kn ∇f (x kn ))]
f [p C (x kn − t∇f (x kn ))] (d’après la définition même de t kn )
< f(x) (d’après (6.27)).
D’où la contradiction.
Donc p T (C,x) (−∇f (x)) = 0, ce qui est une des formes de la condition du
1 er ordre nécessairement vérifiée par un minimum local x de f sur C.
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