VI.3. Fonctions convexes
b)
τ >0
τ (C − x) = T (C, x).
c) (i) v k = p C−x
t k
(d) =
p C (x+t k d)−x
t k
; sachant que x ∈ C, et donc p C (x) = x,
la propriété de Lipschitz de p C (sur R n , avec la constante 1) fait que v k
d .
(ii) Soit w la limite d’une sous-suite convergente de {v k } (sous-suite notée
encore {v k }) ; il nous faut démontrer que w = p T (C,x) (d).
Puisque v k ∈
C−x
t k
et que v k → w, on a : w ∈
τ >0
τ (C − x) = T (C, x).
Soit maintenant u ∈
τ >0
τ (C − x), i.e., u ∈ τ (C − x) pour un certain τ > 0.
Pour k suffisamment grand,
1
t k
τ , de sorte que τ (C − x) ⊂
C−x
t k
; d’où :
d − v k , u − v k 0 (puisque v k = p C−x
t k
(d)).
En passant à la limite (sur k) ci-dessus, on obtient : d − w, u − w 0.
Par suite, d − w, u − w 0 pour tout u ∈
τ >0
τ (C − x) = T (C, x). Ceci
caractérise le fait que w = p T (C,x) (d).
d) Puisque toute sous-suite convergente de la suite (bornée) {v k } a pour
limite le même w = p T (C,x) (d), c’est que toute la suite {v k } est convergente et
a pour limite p T (C,x) (d).
Le résultat précédent étant acquis pour toute suite {t k } ⊂ R +
∗ de limite 0,
on a bien :
p C (x+td)−x
t
−→ p T (C,x) (d) quand t −→ 0 + .
Notons qu’en raison du caractère lipschitzien de p C , on a aussi :
p C (x + tv) − x
t
−→ p T (C,x) (d) quand t −→ 0
+ et v −→ d.
2 e partie
1 ◦ ) Si x est un minimum local de f sur C, on a nécessairement :
∇f (x), x − x 0 pour tout x ∈ C,
ou, d’une manière équivalente,
p T (C,x) (−∇f (x)) = 0, ou bien x = p C (x − ∇f (x)),
ou encore
∇f (x), p T (C,x) (−∇f (x))
0 (cf. Exercice VI.15).
2 ◦ ) (i) f étant de classe C 1 , p C ayant une dérivée directionnelle en x, la
fonction composée f ◦ p C a une dérivée directionnelle en x et :
∀d ∈ R
n ,
(f ◦ p C )(x + td) − (f ◦ p C )(x)
t
→ t→0 +
∇f (x), p T (C,x) (d)
.
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