Chapitre VI. Ensembles et fonctions convexes. Projection...
En particulier, pour c = x, cela donne :
x − ˜
x
2 + t x − x, x − ˜
x
1
2
x − ˜
x
2 .
Or x ∈ P S (x), d’où
x − x, c − x
1
2
c − x
2 pour tout c ∈ S,
et par conséquent x − x, ˜
x − x
1
2 ˜
x − x 2 .
En définitive,
(1−t)
2
˜
x − x 2 0, d’où ˜
x = x.
La signification géométrique de ce résultat est claire : si x t := x + t(x − x)
est un point du segment [x, x[, l’intersection de S et de la boule fermée centrée
en x t et de rayon x t − x est réduite à {x} .
3 ◦ ) Contrairement au cas convexe, l’angle de x − x et c − x, c ∈ S, n’est
pas nécessairement obtus : on a simplement une majoration de x − x, c − x
par
1
2 c − x 2 . De plus, lorsque t > 1, x t := x + t(x − x) ne se projette
pas nécessairement en x. En clair, on ne peut laisser t → +∞ dans l’inégalité (6.26) .
Commentaire :
– Les résultats ci-dessus s’étendent sans difficulté au cadre hilbertien. La
grande différence est que lorsque S est un fermé de l’espace de Hilbert de dimension infinie H, on n’est pas assuré d’avoir P S (x) = φ. Notons toutefois les
résultats suivants :
{x ∈ H | P S (x) = φ} est dense dans H,
{x ∈ H | P S (x) est un singleton} est dense dans H.
– Depuis Bunt (1934), on sait que si S est un fermé de R n tel que P S (x) soit
un singleton pour tout x ∈ R n , alors S est convexe. La même question, posée
dans un cadre hilbertien général, reste sans réponse complète à ce jour.
** Exercice VI.20. Soient {C k } une suite décroissante de convexes fermés de R n
et C :=
k
C k supposé non vide. Montrer que pour tout x ∈ R n :
p C k (x) → p C (x)
et
quand k → +∞.
d C k (x) ↑ d C (x)
(↑ est une notation pour signifier la convergence en croissant.)
252
En particulier, pour c = x, cela donne :
x − ˜
x
2 + t x − x, x − ˜
x
1
2
x − ˜
x
2 .
Or x ∈ P S (x), d’où
x − x, c − x
1
2
c − x
2 pour tout c ∈ S,
et par conséquent x − x, ˜
x − x
1
2 ˜
x − x 2 .
En définitive,
(1−t)
2
˜
x − x 2 0, d’où ˜
x = x.
La signification géométrique de ce résultat est claire : si x t := x + t(x − x)
est un point du segment [x, x[, l’intersection de S et de la boule fermée centrée
en x t et de rayon x t − x est réduite à {x} .
3 ◦ ) Contrairement au cas convexe, l’angle de x − x et c − x, c ∈ S, n’est
pas nécessairement obtus : on a simplement une majoration de x − x, c − x
par
1
2 c − x 2 . De plus, lorsque t > 1, x t := x + t(x − x) ne se projette
pas nécessairement en x. En clair, on ne peut laisser t → +∞ dans l’inégalité (6.26) .
Commentaire :
– Les résultats ci-dessus s’étendent sans difficulté au cadre hilbertien. La
grande différence est que lorsque S est un fermé de l’espace de Hilbert de dimension infinie H, on n’est pas assuré d’avoir P S (x) = φ. Notons toutefois les
résultats suivants :
{x ∈ H | P S (x) = φ} est dense dans H,
{x ∈ H | P S (x) est un singleton} est dense dans H.
– Depuis Bunt (1934), on sait que si S est un fermé de R n tel que P S (x) soit
un singleton pour tout x ∈ R n , alors S est convexe. La même question, posée
dans un cadre hilbertien général, reste sans réponse complète à ce jour.
** Exercice VI.20. Soient {C k } une suite décroissante de convexes fermés de R n
et C :=
k
C k supposé non vide. Montrer que pour tout x ∈ R n :
p C k (x) → p C (x)
et
quand k → +∞.
d C k (x) ↑ d C (x)
(↑ est une notation pour signifier la convergence en croissant.)
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