VI.3. Fonctions convexes
Solution :
Puisque C ⊂ C k , p C k (x) est élément du compact B :=
{u | | u − x d C (x)} .
Considérons une sous-suite de {p C k (x)} qui converge vers u ∈ B, donc telle
que u − x d C (x).
Nous disons que u ∈ C k pour tout k. En effet, si ce n’était pas le cas, si
u /
∈ C k 0 pour un certain k 0 , alors, en raison de la décroissance de {C k } , u ne
pourrait pas être limite d’une sous-suite de {p C k (x)} . Donc u ∈
k
C k = C, de
sorte que u − x d C (x).
En résumé, u ∈ C et u − x = d C (x) : u = p C (x).
Le raisonnement ci-dessus étant valable pour toute sous-suite convergente
de la suite (bornée) {p C k (x)}, on en déduit que (toute) la suite {p C k (x)}
converge vers p C (x).
Comme conséquence, d C k (x) = x − p C k (x) ↑ ↑ x − p C (x) = d C (x).
** Exercice VI.21. Soit R n muni d’un produit scalaire noté ·, ·· et de la norme
euclidienne associée notée · · . On considère un convexe fermé non vide C de
R n et x un élément de C.
1 re partie
On se propose de démontrer que l’opérateur p C de projection sur C a en x
une dérivée directionnelle qui est égale à l’opérateur de projection sur T (C, x)
(cône tangent à C en x). Soit donc d ∈ R n .
1 ◦ ) Montrer que
p C (x + td) − x
t
= p C−x
t
(d) pour tout t > 0.
2 ◦ ) a) Vérifier que si 0 < t 1 < t 2 , on a
C−x
t 2
⊂
C−x
t 1
.
b) Qu’est-ce que l’adhérence de
τ >0
τ (C − x) ?
c) Soit {t k } une suite de réels strictement positifs de limite 0 ; on pose
v k := p C−x
t k
(d).
(i) Vérifier que la suite {v k } est bornée.
(ii) Soit w la limite d’une sous-suite convergente de {v k } . Montrer que w
est nécessairement la projection de d sur T (C, x).
d) Déduire de ce qui précède :
p C (x + td) − x
t
−→ p T (C,x) (d) quand t −→ 0
+ .
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