VI.3. Fonctions convexes
Solution : 1 ◦ ) On a :
x ∈ P S (x) ⇔
⎛
⎜
⎝
x ∈ S
et
x − x 2 x − c 2 pour tout c ∈ S
⎞
⎟
⎠ .
En développant x − c 2 = x − x + x − c 2 , l’inégalité ci-dessus est
équivalente à
2 x − x, c − x c − x
2 .
D’où (i) ⇔ (ii).
(ii) peut encore s’écrire : x ∈ S et
2 x − x, c − x
1
t
c − x
2 pour tout c ∈ S et t ∈ ]0, 1].
(6.26)
Reformulons (6.26) comme suit :
2 [x + t(x − x)] − x, c − x c − x
2 pour tout c ∈ S et t ∈ [0, 1].
D’après l’équivalence de (i) et (ii) déjà vue, nous venons de démontrer que (ii)
équivaut à (iii).
Figure 22.
2 ◦ ) Soit ˜
x ∈ P S (x + t(x − x)), 0 t < 1, et montrons que ˜
x = x nécessairement.
D’après la caractérisation (ii) de la 1 re question,
x + t(x − x) − ˜
x, c − ˜
x
1
2
c − ˜
x
2 pour tout c ∈ S.
251
Solution : 1 ◦ ) On a :
x ∈ P S (x) ⇔
⎛
⎜
⎝
x ∈ S
et
x − x 2 x − c 2 pour tout c ∈ S
⎞
⎟
⎠ .
En développant x − c 2 = x − x + x − c 2 , l’inégalité ci-dessus est
équivalente à
2 x − x, c − x c − x
2 .
D’où (i) ⇔ (ii).
(ii) peut encore s’écrire : x ∈ S et
2 x − x, c − x
1
t
c − x
2 pour tout c ∈ S et t ∈ ]0, 1].
(6.26)
Reformulons (6.26) comme suit :
2 [x + t(x − x)] − x, c − x c − x
2 pour tout c ∈ S et t ∈ [0, 1].
D’après l’équivalence de (i) et (ii) déjà vue, nous venons de démontrer que (ii)
équivaut à (iii).
Figure 22.
2 ◦ ) Soit ˜
x ∈ P S (x + t(x − x)), 0 t < 1, et montrons que ˜
x = x nécessairement.
D’après la caractérisation (ii) de la 1 re question,
x + t(x − x) − ˜
x, c − ˜
x
1
2
c − ˜
x
2 pour tout c ∈ S.
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