Chapitre VI. Ensembles et fonctions convexes. Projection...
Solution : 1 ◦ ) f étant convexe, ∇f : R n → R n est localement lipschitzienne
sur R n .
Comme p C : R n → R n est lipschitzienne sur R n , il s’ensuit que F est non
seulement continue, mais localement lipschitzienne sur R n .
Même si f est deux fois différentiable sur R n (c’est-à-dire si ∇f est différentiable), la non-différentiabilité de p C (notamment en les points x ∈ fr(C))
fait qu’on ne peut conclure à la différentiabilité de F.
2 ◦ ) Soient x un point fixe de F et x := p C (x). Puisque ∇f (p C (x))−p C (x) =
x, ∇f (x) − x = p C (x) et la caractérisation de l’élément p C (x) conduit à :
x − (∇f (x) − x), c − x 0 pour tout c ∈ C.
Ceci n’est autre que (6.25) .
Commentaire :
– Plus généralement, si A : R n → R n est un opérateur (pas nécessairement un
gradient), la recherche de x ∈ C vérifiant
A(x), c − x 0 pour tout c ∈ C
(inéquation variationnelle) peut être faite via la recherche de points fixes de F :=
− (A ◦ p C − p C ) .
– Le résultat de l’exercice est à rapprocher de celui de l’Exercice III.17.
** Exercice VI.19. Soient S ⊂ R n et x /
∈ S. On désigne par P S (x) l’ensemble
des x ∈ S tels que x − x = d S (x) (P S (x) est l’ensemble des points de S à
distance euclidienne minimale de x).
1 ◦ ) Montrer l’équivalence des assertions suivantes :
(i) x ∈ P S (x) ;
(ii) x ∈ S et x − x, c − x
1
2 c − x 2 pour tout c ∈ S ;
(iii) x ∈ P S (x + t(x − x)) pour tout t ∈ [0, 1].
2 ◦ ) Vérifier que si x ∈ P S (x), alors pour tout t ∈ [0, 1[, P S (x + t(x − x)) est
le singleton {x} , c’est-à-dire x est le seul point de S à distance minimale de x.
3 ◦ ) Commenter les différences avec la caractérisation de x = p S (x) lorsque
S est convexe.
250
Solution : 1 ◦ ) f étant convexe, ∇f : R n → R n est localement lipschitzienne
sur R n .
Comme p C : R n → R n est lipschitzienne sur R n , il s’ensuit que F est non
seulement continue, mais localement lipschitzienne sur R n .
Même si f est deux fois différentiable sur R n (c’est-à-dire si ∇f est différentiable), la non-différentiabilité de p C (notamment en les points x ∈ fr(C))
fait qu’on ne peut conclure à la différentiabilité de F.
2 ◦ ) Soient x un point fixe de F et x := p C (x). Puisque ∇f (p C (x))−p C (x) =
x, ∇f (x) − x = p C (x) et la caractérisation de l’élément p C (x) conduit à :
x − (∇f (x) − x), c − x 0 pour tout c ∈ C.
Ceci n’est autre que (6.25) .
Commentaire :
– Plus généralement, si A : R n → R n est un opérateur (pas nécessairement un
gradient), la recherche de x ∈ C vérifiant
A(x), c − x 0 pour tout c ∈ C
(inéquation variationnelle) peut être faite via la recherche de points fixes de F :=
− (A ◦ p C − p C ) .
– Le résultat de l’exercice est à rapprocher de celui de l’Exercice III.17.
** Exercice VI.19. Soient S ⊂ R n et x /
∈ S. On désigne par P S (x) l’ensemble
des x ∈ S tels que x − x = d S (x) (P S (x) est l’ensemble des points de S à
distance euclidienne minimale de x).
1 ◦ ) Montrer l’équivalence des assertions suivantes :
(i) x ∈ P S (x) ;
(ii) x ∈ S et x − x, c − x
1
2 c − x 2 pour tout c ∈ S ;
(iii) x ∈ P S (x + t(x − x)) pour tout t ∈ [0, 1].
2 ◦ ) Vérifier que si x ∈ P S (x), alors pour tout t ∈ [0, 1[, P S (x + t(x − x)) est
le singleton {x} , c’est-à-dire x est le seul point de S à distance minimale de x.
3 ◦ ) Commenter les différences avec la caractérisation de x = p S (x) lorsque
S est convexe.
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