VI.3. Fonctions convexes
2 ◦ ) Déduire de ce qui précède les primitives sur R n de l’application p C ,
c’est-à-dire les fonctions g : R n → R différentiables telles que
∇g(x) = p C (x) pour tout x ∈ R
n .
Solution : 1 ◦ ) Considérons (h) := d 2
C (x + h) − d 2
C (x).
Puisque d 2
C (x) x − p C (x + h) 2 , nous avons
(h) x + h − p C (x + h)
2
− − x − p C (x + h)
2 =
h
2 + 2 x − p C (x + h), h .
En intervertissant les rôles de x et x + h, on obtient de la même manière
(h) x + h − p C (x)
2
− − x − p C (x)
2 = h
2 + 2 x − p C (x), h .
Comme p C (u) − p C (v) u − v pour tout (u, v) ∈ R n × R n , on en
déduit
(h) = 2 x − p C (x), h + o ( h ) .
Par conséquent, f := d 2
C est différentiable en x avec ∇f (x) = 2(x − p C (x)).
2 ◦ ) Soit g 0 : x ∈ R n −→ g 0 (x) :=
1
2 [ x 2 − d 2
C (x)]. D’après ce qui précède,
cette fonction est différentiable sur R n et
∇g 0 (x) = p C (x) pour tout x ∈ R
n .
Ainsi, les fonctions g primitives de l’application p C sont les fonctions de la
forme suivante :
g = g 0 + r, r ∈ R.
* Exercice VI.18. Soit f : R n → R convexe et différentiable, soit C un convexe
fermé de R n . On rappelle que les points x ∈ C minimisant f sur C sont exactement ceux pour lesquels :
∇f (x), c − x 0 pour tout c ∈ C.
(6.25)
On définit alors F : R n → R n de la manière suivante :
∀x ∈ R
n , F(x) := − (∇f (p C (x)) − p C (x)) .
1 ◦ ) F est-elle continue ? différentiable ?
2 ◦ ) Montrer que si x est un point fixe de F , alors sa projection x sur C
minimise f sur C.
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