Chapitre VI. Ensembles et fonctions convexes. Projection...
Solution : Il s’agit de montrer l’équivalence des deux inéquations variationnelles figurant dans les caractérisations (i) et (ii).
Figure 21.
[(i) ⇒ (ii)]. Observons que pour tout c ∈ C :
c − c x , x − c = − − c − c x
2 + x − c x , c − c x .
L’implication voulue s’ensuit.
[(ii) ⇒ (i)]. Pour t ∈ ]0, 1[ soit
c(t) := c x + t(c − c x ) ;
observant que c(t) ∈ C, on a :
t c − c x , x − c x − t
2
c − c x
2
0.
En divisant par t, puis en faisant tendre t vers 0, on trouve l’inégalité
de (i).
** Exercice VI.17. Soit C un convexe fermé non vide de (R n , ·, ··).
1 ◦ ) Montrer que la fonction f := d 2
C (carré de la fonction-distance euclidienne
à C) est différentiable sur R n avec
∇f (x) = 2(x − p C (x)) pour tout x ∈ R
n .
248
Solution : Il s’agit de montrer l’équivalence des deux inéquations variationnelles figurant dans les caractérisations (i) et (ii).
Figure 21.
[(i) ⇒ (ii)]. Observons que pour tout c ∈ C :
c − c x , x − c = − − c − c x
2 + x − c x , c − c x .
L’implication voulue s’ensuit.
[(ii) ⇒ (i)]. Pour t ∈ ]0, 1[ soit
c(t) := c x + t(c − c x ) ;
observant que c(t) ∈ C, on a :
t c − c x , x − c x − t
2
c − c x
2
0.
En divisant par t, puis en faisant tendre t vers 0, on trouve l’inégalité
de (i).
** Exercice VI.17. Soit C un convexe fermé non vide de (R n , ·, ··).
1 ◦ ) Montrer que la fonction f := d 2
C (carré de la fonction-distance euclidienne
à C) est différentiable sur R n avec
∇f (x) = 2(x − p C (x)) pour tout x ∈ R
n .
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