VI.3. Fonctions convexes
soit encore
−∇f (x) ∈ [T (C, x)]
◦ = N (C, x).
(6.23)
[(ii) ⇔ (iii)]. Étant donné t > 0, dire que x = p C (x − t∇f (x)) équivaut
(d’après la caractérisation de ˆ
u = p C (u) rappelée au-dessus) à :
x − x, (x − t∇f (x)) − x 0 pour tout x ∈ C,
c’est-à-dire
−t x − x, ∇f (x) 0 pour tout x ∈ C,
ce qui n’est autre que (ii) .
[(iv) ⇔ (ii)]. T(C, x) étant un cône convexe fermé de R n , utilisons la
caractérisation de ˆ
u = p K (u) rappelée au-dessus ; ainsi :
0 = p T (C,x) (−∇f (x)) ⇔ −∇f (x) ∈ [T (C, x)]
◦ .
D’où l’équivalence de (iv) et (ii) via (6.23)−(6.22)−(6.21).
[(iv) ⇔ (v)]. Toujours d’après la caractérisation de p T (C,x) (u), on a :
u − p T (C,x) (u), p T (C,x) (u)
= 0,
soit
u, p T (C,x) (u)
= p T (C,x) (u)
2 .
(6.24)
Ce que dit (v) est exactement
−∇f (x), p T (C,x) (−∇f (x))
0,
c’est-à-dire, d’après (6.24),
p T (C,x) (−∇f (x))
2 = 0,
ce qui équivaut à (iv).
** Exercice VI.16. Soit C un convexe fermé non vide de (R n , ·, ··). La manière
usuelle de caractériser l’élément c x projection de x sur C est la suivante :
(i)
(c x = p C (x)) ⇔ (c x ∈ C et x − c x , c − c x 0 pour tout c ∈ C) .
Montrer qu’une autre caractérisation de p C (x) est comme suit :
(ii)
(c x = p C (x)) ⇔ (c x ∈ C et c − c x , x − c 0 pour tout c ∈ C) .
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