Chapitre VI. Ensembles et fonctions convexes. Projection...
Soit y un état qui peut être atteint en utilisant une séquence de contrôles
admissibles. D’après le résultat de la 5 e question, il existe u = (u(0), . . . , u(T ))
dans U (0) × . . . × U (T ) tel que
dim L U (0)×...×U (T ) (u) dim L A(C) (y),
soit
T
k=0
dim L U (k) (u(k)) n.
Par conséquent,
Card {k | u(k) n’est pas extrémal dans U (k)} n.
** Exercice VI.15. Étant donné un convexe fermé non vide D de (R n , ·, ··), on
note p D l’opérateur de projection sur D.
Soient C un convexe fermé non vide de R n et f : R n → R une fonction
convexe différentiable. Soit x ∈ C ; montrer l’équivalence des assertions suivantes :
(i) x minimise f sur C ;
(ii) ∇f (x), x − x 0 pour tout x ∈ C ;
(iii) x = p C (x − t∇f (x)), t étant quelconque dans R +
∗ ;
(iv) p T (C,x) (−∇f (x)) = 0 ;
(v)
∇f (x), p T (C,x) (−∇f (x))
0.
Solution : On rappelle la caractérisation suivante de l’élément p D (x) :
(ˆ x = p D (x)) ⇔ (ˆ x ∈ D et x − ˆ
x, y − ˆ
x 0 pour tout y ∈ D) .
Dans le cas particulier où l’on projette sur un cône convexe fermé K,
(ˆ x = p K (x)) ⇔ (x − ˆ
x ∈ K
◦ et x − ˆ
x, ˆ
x = 0) .
[(i) ⇔ (ii)]. De la définition même de ∇f (x) et de l’inégalité f (x)
f (x) + ∇f (x), x − x valable pour tout x ∈ R n , il vient :
x ∈ C minimise f sur C ⇔ ⇔∇f (x), x − x 0 pour tout x ∈ C.
(6.21)
Cette dernière inégalité a lieu si et seulement si
∇f (x), d 0 pour tout d ∈ R + (C − x) = T (C, x),
(6.22)
246
Soit y un état qui peut être atteint en utilisant une séquence de contrôles
admissibles. D’après le résultat de la 5 e question, il existe u = (u(0), . . . , u(T ))
dans U (0) × . . . × U (T ) tel que
dim L U (0)×...×U (T ) (u) dim L A(C) (y),
soit
T
k=0
dim L U (k) (u(k)) n.
Par conséquent,
Card {k | u(k) n’est pas extrémal dans U (k)} n.
** Exercice VI.15. Étant donné un convexe fermé non vide D de (R n , ·, ··), on
note p D l’opérateur de projection sur D.
Soient C un convexe fermé non vide de R n et f : R n → R une fonction
convexe différentiable. Soit x ∈ C ; montrer l’équivalence des assertions suivantes :
(i) x minimise f sur C ;
(ii) ∇f (x), x − x 0 pour tout x ∈ C ;
(iii) x = p C (x − t∇f (x)), t étant quelconque dans R +
∗ ;
(iv) p T (C,x) (−∇f (x)) = 0 ;
(v)
∇f (x), p T (C,x) (−∇f (x))
0.
Solution : On rappelle la caractérisation suivante de l’élément p D (x) :
(ˆ x = p D (x)) ⇔ (ˆ x ∈ D et x − ˆ
x, y − ˆ
x 0 pour tout y ∈ D) .
Dans le cas particulier où l’on projette sur un cône convexe fermé K,
(ˆ x = p K (x)) ⇔ (x − ˆ
x ∈ K
◦ et x − ˆ
x, ˆ
x = 0) .
[(i) ⇔ (ii)]. De la définition même de ∇f (x) et de l’inégalité f (x)
f (x) + ∇f (x), x − x valable pour tout x ∈ R n , il vient :
x ∈ C minimise f sur C ⇔ ⇔∇f (x), x − x 0 pour tout x ∈ C.
(6.21)
Cette dernière inégalité a lieu si et seulement si
∇f (x), d 0 pour tout d ∈ R + (C − x) = T (C, x),
(6.22)
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