VI.3. Fonctions convexes
7 ◦ ) a) Soient λ ∈ Λ k et d = (d 1 , . . . , d k ) un vecteur de L Λ k (λ). Il existe
ε > 0 tel que
k
i=1
(λ i + αd i ) = 1 pour | λ | < ε,
(6.19)
λ i + αd i 0 pour tout i = 1, . . . , k.
(6.20)
S’il existe i tel que λ i = 1, λ est alors un point extrémal de Λ k et le résultat
escompté est vrai avec n(λ) = 1.
Supposons donc λ i < 1 pour tout i. Il résulte de (6.19) et (6.20) que d i
n’est non nul que lorsque λ i > 0. De plus, l’égalité (6.19) induit que
k
i=1
d i = 0.
En bref,
(d = (d 1 , . . . , d k ) ∈ L Λ k (λ)) ⇒
⎛
⎜
⎝
d i = 0 pour tout i tel que λ i = 0,
k
i=1
d i = 0
⎞
⎟
⎠ .
L’implication inverse est facile à vérifier. En définitive, L Λ k (λ) est le sousespace vectoriel d’équation
d i = 0 pour tout i tel que λ i = 0,
d 1 + . . . + d k = 0,
ce qui implique
dim L Λ k (λ) = n(λ) − 1.
b) On prend C = Λ k . Avec A : R k → R n définie par A(λ) :=
k
i=1
λ i b i ,
on a A(C) = conv{b 1 , . . . , b k } . D’après le résultat de la 5 e question, il existe
λ = (λ 1 , . . . , λ k ) ∈ Λ k tel que
y =
k
i=1
λ i b i et dim L Λ k (λ) dim L A(C) (y).
Comme dim L Λ k (λ) = n(λ) − 1 et que dim L A(C) (y) n, on en déduit
Card
i = 1, . . . , k | λ i > 0
n + 1.
On a démontré que y pouvait s’écrire comme combinaison convexe d’au plus
n + 1 points de B ; c’est le fameux théorème de Carathéodory.
8 ◦ ) On pose C = U (0) × . . . × U (T ) et on définit A : R m(T +1) → R n par
u = (u(0), . . . , u(T )) −→ A(u) := x u (T + 1).
A est une application affine (c’est facile à vérifier).
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