Chapitre VI. Ensembles et fonctions convexes. Projection...
Soit y ∈ A(C) ; d’après le résultat de la 5 e question, il existe x =
(x 1 , . . . , x k ) dans C tel que :
y =
k
i=1
x i ,
k
i=1
dim L convA i (x i ) dim A(C) n.
(6.17)
Par suite,
Card {i | dim L convA i (x i ) 1} n.
(6.18)
Si x i est un point extrémal de convA i , il appartient nécessairement à A i
(résultat classique sur les points extrémaux de l’enveloppe convexe d’un ensemble ; cf. Exercice VI.4).
D’où
{i | x i /
∈ A i } ⊂ {i | dim L convA i (x i ) 1}
et le résultat annoncé découle alors de (6.18).
Si l’on sait que x i 0 ∈ int(convA i 0 ) pour un certain indice i 0 , alors
dim L convA i 0 (x i 0 ) = n et l’inégalité (6.17) implique
dim L convA i (x i ) = 0 pour tout i = i 0 ,
ce qui implique
x i ∈ A i pour tout i = i 0 .
Figure 20.
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