VI.3. Fonctions convexes
ou encore
A : F C (x 0 ) −→ F A(C) (y 0 )
est injective et, par conséquent, la dimension de L C (x 0 ) est inférieure à la
dimension de L A(C) (y 0 ).
Illustration : A est la projection orthogonale de R 3 sur R 2 .
Figure 19.
6 ◦ ) a) C := conv A 1 × . . . ×conv A k = conv (A 1 × . . . × A k ) (à redémontrer
si nécessaire ; cf. Exercice VI.10).
L’image par l’application linéaire A de l’enveloppe convexe de A 1 ×. . .×A k
est
k
i=1
conv A i ; c’est aussi l’enveloppe convexe de l’image par A de A 1 ×. . .×A k ,
c’est-à-dire conv
k
i=1
A i
. On peut aussi démontrer directement que
conv
k
i=1
A i
=
k
i=1
conv A i .
(cf. Exercice VI.11).
b) Si x = (x 1 , . . . , x k ) ∈ C = conv A 1 × . . . × conv A k , les « perturbations
sur x peuvent avoir lieu indépendamment sur chaque coordonnée x i », de sorte
que
L C (x) = (L conv A 1 (x 1 )) × (L conv A 2 (x 2 )) × . . . × (L conv A k (x k ))
et
dim L C (x) =
k
i=1
dim L convA i (x i ).
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