Chapitre VI. Ensembles et fonctions convexes. Projection...
Pour l’inclusion inverse, considérons d = 0 dans L C (x 0 ). Il existe alors
ε > 0 tel que x := x 0 + εd appartienne à C et par conséquent à F C (x 0 ). Le
point x := x 0 + d se trouvant sur la droite déterminée par x 0 et x est donc
dans aff(F C (x 0 )). La dimension de F C (x 0 ) est celle de aff(F C (x 0 )) ; c’est par
conséquent la dimension de L C (x 0 ).
5 ◦ ) a) A −1 (y 0 ) est convexe fermé comme image réciproque de {y 0 } par
l’application affine (et donc) continue A.
b) C étant compact, il en est de même de A −1 (y 0 ) ∩ C. Puisque y 0 a été
choisi dans A(C), A −1 (y 0 ) ∩ C n’est pas vide. A −1 (y 0 ) ∩ C étant un convexe
compact non vide de R p , il possède un point extrémal.
Soit z ∈ L C (x 0 ) (si, de plus, x 0 + z ∈ C, on a x := x 0 + z ∈ F C (x 0 )).
Rappelons que
A(x 0 + λz) = y 0 + λA 0 (z) pour tout λ ∈ R,
(6.16)
où A 0 désigne l’application linéaire de R p dans R q associée à A.
– Considérons ε > 0 vérifiant
x 0 + λz ∈ C dès que | λ | < ε.
La relation (6.16) indique immédiatement que y 0 + λA 0 (z) ∈ A(C) lorsque
| λ | < ε ; donc A(x 0 + z) − y 0 = A 0 (z) ∈ L A(C) (y 0 ). En somme :
(z ∈ L C (x 0 )) ⇒ (A 0 (z) ∈ L A(C) (y 0 )) ;
(x = x 0 + z ∈ F C (x 0 )) ⇒ (A(x) = y 0 + A 0 (z) ∈ F A(C) (y 0 )).
– Si z est tel que A(x 0 + z) = y 0 , il résulte facilement de (6.16) que
z ∈ L A −1 (y 0 ) (x 0 ). Ainsi,
z ∈L C (x 0 ) ∩ L A −1 (y 0 ) (x 0 ) = L A −1 (y 0 )∩C (x 0 ) = {0}
(puisque x 0 est extrémal dans A
−1 (y 0 ) ∩ C).
– Soient z 1 et z 2 deux éléments de L C (x 0 ) pour lesquels A(x 0 + z 1 ) =
A(x 0 + z 2 ).
Pour | λ | suffisamment petit, disons | λ | < ε, on a :
x 0 + λ(z 1 − z 2 ) ∈ C, A(x 0 + λ(z 1 − z 2 )) = y 0.
Par conséquent, x 0 + λ(z 1 − z 2 ) ∈ F C (x 0 ) et, d’après ce qui a été démontré
précédemment, z 1 − z 2 = 0 nécessairement.
L’application
A : aff (F C (x 0 ))
−→ aff(F A(C) (y 0 ))
(= x 0 + L C (x 0 ))
(= y 0 + L A(C) (y 0 ))
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Pour l’inclusion inverse, considérons d = 0 dans L C (x 0 ). Il existe alors
ε > 0 tel que x := x 0 + εd appartienne à C et par conséquent à F C (x 0 ). Le
point x := x 0 + d se trouvant sur la droite déterminée par x 0 et x est donc
dans aff(F C (x 0 )). La dimension de F C (x 0 ) est celle de aff(F C (x 0 )) ; c’est par
conséquent la dimension de L C (x 0 ).
5 ◦ ) a) A −1 (y 0 ) est convexe fermé comme image réciproque de {y 0 } par
l’application affine (et donc) continue A.
b) C étant compact, il en est de même de A −1 (y 0 ) ∩ C. Puisque y 0 a été
choisi dans A(C), A −1 (y 0 ) ∩ C n’est pas vide. A −1 (y 0 ) ∩ C étant un convexe
compact non vide de R p , il possède un point extrémal.
Soit z ∈ L C (x 0 ) (si, de plus, x 0 + z ∈ C, on a x := x 0 + z ∈ F C (x 0 )).
Rappelons que
A(x 0 + λz) = y 0 + λA 0 (z) pour tout λ ∈ R,
(6.16)
où A 0 désigne l’application linéaire de R p dans R q associée à A.
– Considérons ε > 0 vérifiant
x 0 + λz ∈ C dès que | λ | < ε.
La relation (6.16) indique immédiatement que y 0 + λA 0 (z) ∈ A(C) lorsque
| λ | < ε ; donc A(x 0 + z) − y 0 = A 0 (z) ∈ L A(C) (y 0 ). En somme :
(z ∈ L C (x 0 )) ⇒ (A 0 (z) ∈ L A(C) (y 0 )) ;
(x = x 0 + z ∈ F C (x 0 )) ⇒ (A(x) = y 0 + A 0 (z) ∈ F A(C) (y 0 )).
– Si z est tel que A(x 0 + z) = y 0 , il résulte facilement de (6.16) que
z ∈ L A −1 (y 0 ) (x 0 ). Ainsi,
z ∈L C (x 0 ) ∩ L A −1 (y 0 ) (x 0 ) = L A −1 (y 0 )∩C (x 0 ) = {0}
(puisque x 0 est extrémal dans A
−1 (y 0 ) ∩ C).
– Soient z 1 et z 2 deux éléments de L C (x 0 ) pour lesquels A(x 0 + z 1 ) =
A(x 0 + z 2 ).
Pour | λ | suffisamment petit, disons | λ | < ε, on a :
x 0 + λ(z 1 − z 2 ) ∈ C, A(x 0 + λ(z 1 − z 2 )) = y 0.
Par conséquent, x 0 + λ(z 1 − z 2 ) ∈ F C (x 0 ) et, d’après ce qui a été démontré
précédemment, z 1 − z 2 = 0 nécessairement.
L’application
A : aff (F C (x 0 ))
−→ aff(F A(C) (y 0 ))
(= x 0 + L C (x 0 ))
(= y 0 + L A(C) (y 0 ))
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