VI.3. Fonctions convexes
Ainsi, x = x 0 + d appartient à un segment [a, b] ⊂ C tel que
x 0 ∈ ]a, b[ = ir ([a, b]) lorsque d = 0,
x 0 ∈ {x 0 } = ir ({x 0 }) lorsque d = 0.
Réciproquement, si x appartient à un segment contenu dans C et ayant x 0
dans son intérieur relatif, il est évident que x − x 0 ∈ L C (x 0 ).
2 ◦ ) Par définition, x 0 est extrémal s’il n’est pas intérieur à un segment
contenu dans C. Dire ceci est exactement dire que F C (x 0 ) = {x 0 } (ou, d’une
manière équivalente, L C (x 0 ) = {0}).
3 ◦ ) Soit x ∈ F C∩D (x 0 ), x = x 0 : il existe alors x ∈ C ∩ D et ρ ∈ ]0, 1[
tels que x 0 = ρx + (1 − ρ)x ; on en déduit immédiatement que x appartient à
F C (x 0 ) et à F D (x 0 ).
Inversement, si x ∈ F C (x 0 ) ∩ F D (x 0 ), x = x 0 , on a la situation suivante :
x 0 = ρ 1 x 1 + (1 − ρ 1 )x pour un certain x 1 ∈ C et un ρ 1 ∈ ]0, 1[ ;
x 0 = ρ 2 x 2 + (1 − ρ 2 )x pour un certain x 2 ∈ D et un ρ 2 ∈ ]0, 1[ .
Comme x 0 ∈ C ∩ D, on a nécessairement [x 1 , x] ⊂ C ∩ D ou bien
[x 2 , x] ⊂ C ∩ D, donc x ∈ F C∩D (x 0 ).
La deuxième assertion, L C∩D (x 0 ) = L C (x 0 ) ∩ L D (x 0 ), se démontre de la
même manière.
4 ◦ ) L’enveloppe affine aff(F C (x 0 )) de F C (x 0 ) est, par définition, le plus
petit sous-espace affine de R n contenant F C (x 0 ). C’est l’ensemble de tous les
vecteurs x de la forme x =
m
i=1
ρ i x i , avec m 1, x i ∈ F C (x 0 ) pour tout i et
m
i=1
ρ i = 1.
x 0 + L C (x 0 ) est un sous-espace affine, d’où aff(F C (x 0 )) ⊂ x 0 + L C (x 0 ).
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