Chapitre VI. Ensembles et fonctions convexes. Projection...
Montrer que y peut aussi être atteint en utilisant une suite u =
(u(0), . . . , u(T )) de contrôles admissibles pour laquelle
Card {k | u(k) n’est pas extrémal dans U (k)} n.
On utilisera pour cela le résultat de la 5 e question avec
U (0) × . . . × U (T ) =: C
et A : R m(T +1) → R n définie par
u = (u(0), . . . , u(T )) −→ A(u) := x u (T + 1).
Solution : 1 ◦ ) Le plus grand sous-espace vectoriel contenu dans (le cône
convexe) K C (x 0 ) est K C (x 0 ) ∩ −K C (x 0 ) = L C (x 0 ).
Pour les différentes notions proposées, il est recommandé de faire des dessins pour visualiser les choses ; considérer notamment des polyèdres de R 2
et R 3 .
Comme K C (x 0 ) =
α>0 α(C − x 0 ) et L C (x 0 ) = K C (x 0 ) ∩ −K C (x 0 ), on a :
(d ∈ L C (x 0 )) ⇔
∃ α > 0 tel que x = x 0 +
d
α ∈ C, et
∃ α > 0 tel que x = x 0 −
d
α ∈ C
.
C étant convexe, le segment [x, x ] joignant x à x est contenu dans C. Par
conséquent, en prenant 0 < ε min
1
α ,
1
α
, on aura
x 0 + λd ∈ C dès que | λ |< ε.
(6.15)
Réciproquement, si l’on considère d vérifiant (6.15) pour un certain ε > 0,
il est immédiat que d et −d appartiennent à K C (x 0 ).
Par construction, F C (x 0 ) est un convexe contenu dans C et contenant x 0 .
Tout élément x de F C (x 0 ) est un élément de C qui peut s’écrire sous la forme
x = x 0 + d avec d ∈ L C (x 0 ).
Puisque d ∈ L C (x 0 ), il existe 1 ε > 0 tel que
[x 0 − εd, x 0 + εd] ⊂ [x 0 − εd, x 0 + d]
⊂ C.
[a, b]
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